三角函數

放暑假了!閒閒沒事做，所以算數學
cos(a+b+c)=cos(a+2b)+cos(b+2c)+cos(c+2a)
sin(a+b+c)=sin(a+2b)+sin(b+2c)+sin(c+2a)
求
(1) cos(a-b)+cos(b-c)+cos(c-a)
(2) sin(a-b)+sin(b-c)+sin(c-a)

令\({{z}_{1}}=\cos A+i\sin A,{{z}_{2}}=\cos B+i\sin B,{{z}_{3}}=\cos C+i\sin C\) , 則已知可推得
\({{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}={{z}_{1}}{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}^{2}+{{z}_{3}}{{z}_{1}}^{2}\Rightarrow \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{3}}}+\frac{{{z}_{3}}}{{{z}_{1}}}=1\)
故知\(\left( \cos \left( A-B \right)+\cos \left( B-C \right)+\cos \left( C-A \right) \right)+i\left( \sin \left( A-B \right)+\sin \left( B-C \right)+\sin \left( C-A \right) \right)=1\)
所以\(\cos \left( A-B \right)+\cos \left( B-C \right)+\cos \left( C-A \right)=1,\sin \left( A-B \right)+\sin \left( B-C \right)+\sin \left( C-A \right)=0\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-29 08:47 PM 編輯 ]

哇!複數的極式結合虛數的概念
好漂亮的解法
謝謝