證明平行

不好意思，又來打擾了

在銳角三角形ABC中，點 D, E, F是過A, B, C對三邊的垂足。三角形AEF和BDF的內心分別為I1和I2
，三角形ACI1和BCI2 的外心分別為O1和O2 。試證：I1I2 平行O1O2

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-6-17 08:18 PM 編輯 ]

先證明A、B、 \( I_1 \) 、 \( I_2 \) 共圓
令三角形ABC的內心為 \( I \)
因為三角形AFE和ABC相似，且相似比為 \( \cos{A} \)
令 \( r_1 \) 、 \( r \) 分別為三角形AFE和ABC的內切圓半徑
那麼 \(\displaystyle r_1=r\cos{A} \)

\(\displaystyle IA=\frac{r}{\sin{\frac{A}{2}}} \)

\(\displaystyle I_1A=\frac{r_1}{\sin{\frac{A}{2}}}=\frac{r\cos{A}}{\sin{\frac{A}{2}}} \)

\(\displaystyle II_1 \times IA=\frac{r^2(1-\cos{A})}{\sin^2{\frac{A}{2}}}=2r^2 \)

同理  \(\displaystyle II_2 \times IB=2r^2 \)

故結論成立

所以若 \( I_3 \) 為三角形CDE的內心，那麼 \( C、I_3、I_1、A \) 以及 \( C、I_3、I_2、B \) 共圓
所以 \( O_1O_2 \) 和 \( CI_3 \) 垂直
又 \( \angle{II_1I_2}=\angle{IBA}=\frac{1}{2}\angle{ABC} \) 且 \( \angle{I_1II_3}=90^o+\frac{1}{2}\angle{ABC} \)
所以\( I_1I_2 \) 和 \( CI_3 \) 垂直
故得證

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-18 05:21 PM 編輯 ]

太神了!
如何能夠想到 先證明共圓 呢(因為它要證明平行，很難想到和共圓有關)方便說明並引導一下，解題的思路歷程or訣竅嗎?
因為自己做題目時，都無法自己找到正確的方向。

還是多謝老師了

因為那兩條線感覺上沒有共通性，所以就是找共同垂直的直線；
而顯然兩圓交點連線與連心線垂直，所以或許交點連線是可行的；
接著就找出另一個交點，用GGB畫個圖就可以猜到是三角形CDE的內心；
剩下的就是想辦法證出來............

謝謝老師