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數學5題請教

tsyr

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1^# 大中小發表於 2014-6-9 19:45 只看該作者

數學5題請教

excuse me!?我第一次到這裡發問
之後還請大家多多指教了
下面的WORD檔有5道問題
麻煩各位了
非常感謝

!

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mathpro.rar (86.34 KB): 2014-6-9 19:45, 下載次數: 6441

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tsyr

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2^# 大中小發表於 2014-6-9 20:01 只看該作者

5題內容

1.在三角形ABC中，分別作三個內角的內角平分線AA1、BB1、CC1，其中 A1、B1、C1 分別在BC、AC、AB邊上。如果∠ABC =120°。試求∠A1B1C1的值為_________。

2.給定面積為1的 ABC，點A1、B1、C1分別是三條邊BC、CA、AB的中點，如果點K、L、M分別在線段AB1、CA1、BC1上，求 A1B1C1與 KLM的公共部分可能的最小面積為___________。

3.一個直角三角形的邊長都是整數（單位為cm）且兩兩互質，已知連接它的重心與內心的直線垂直它的某一條邊。請問這個直角三角形周長的最大值為_________cm。

4.某工廠生產兩種形狀的金屬板，第一種形狀是2 × 2的正方形；第二種形狀是從2 × 2正方形移除其中一個小方格。現欲將一片7 × 7的大金屬板沿格線切割為這兩種形狀的金屬板，這49個小方格都不得浪費。請問我們最少能得到第二種形狀的金屬板______片。

5.如圖，圓O_1與O_2和∆ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點，直線EG與FH交於點P，延長PA交BC 於D。求證：AD⊥BC。

(圖在上面檔案裡)

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lyingheart

萊因哈特

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3^# 大中小發表於 2014-6-9 23:15 只看該作者

第一題
看三角形 ABB1
AA1是內角平分線， BA1 是外角平分線，
所以 B1A1 是外角平分線
於是

A1B1C1=90o

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lyingheart

萊因哈特

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4^# 大中小發表於 2014-6-10 14:45 只看該作者

第五題
抱歉，開不了你的附檔，圖形回去再附
假設角B內部的旁切圓圓心為 O2
假設角C內部的旁切圓圓心為 O1

對三角形ABD以PFH為截線使用孟式定理得到 PDAP

FBDF

HABH=1

又 BF=BH ，所以 PDAP=DFAH

對三角形ACD以PGE為截線使用孟式定理得到 PDAP

ECDE

GACG=1

又 CE=CG ，所以 PDAP=DEAG

於是 DFAH=DEAG =

DEDF=AGAH

不難證明三角形 AGO1 與三角形 AHO2 相似，

AGAH=AO2AO1

由 O1E 與 O2F 都垂直BC，故得證

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旁切.png (23.87 KB)

2014-6-11 19:46

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bch0722b

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5^# 大中小發表於 2014-6-10 18:31 只看該作者

在我看來

O1、O2位置相反，GE相反和HF相反(如果以附檔跟萊茵的證法比較的話)。不過問了這幾題後，突然發現『孟式』跟『賽瓦』真好用~~

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lyingheart

萊因哈特

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6^# 大中小發表於 2014-6-12 08:15 只看該作者

第五題，給有興趣的共同研究
先不要做PA直線
令直線AB和EG交於K，直線AC和FH交於L；
AB跟圓 O1 切於M，AC跟圓 O2 切於N。

(1)首先證明A、M、B、K是調和點列
如果可以看出這是圓錐截痕的橢圓，A、B是長軸兩端點，M、K是對應的焦點與準線，
那麼由定義就有 AKAM=BKBM 即可得知。
或是這樣
AM=AG，BM=BE
AKAG=sin

AKGsin

AGK

BEBK=sin

BEKsin

BKE

而

AGG+

BEK=180o

所以 AKAG=BEBK

故得證A、M、B、K是調和點列

(2) 同理A、N、C、L是調和點列
故A關於MN和KL兩線的極線是BC，那麼MN、KL、BC三線共點

(3)
MK和NL交於A，EK和FL交於P，再令EM和FN交於Q，
由笛薩格定理得到，A、P、Q三點共線

(4)

MEB=21

ABC

BF=BH ，所以

BFH=90o−21

ABC

故EQ和PF垂直；
同理FQ和PE垂直，故Q為三角形PEF的垂心，PQ與BC垂直。

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2014-6-12 08:15

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tsyr

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7^# 大中小發表於 2014-6-13 07:25 只看該作者

我懂了

謝謝萊茵老師
真沒想到可以用座標
不然真的沒有想法
解析幾何不愧是幾何學的秘密武器

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tsyr

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8^# 大中小發表於 2014-6-13 20:26 只看該作者

求解第4題!!
某工廠生產兩種形狀的金屬板，第一種形狀是2 × 2的正方形；第二種形狀是從2 × 2正方形移除其中一個小方格。現欲將一片7 × 7的大金屬板沿格線切割為這兩種形狀的金屬板，這49個小方格都不得浪費。請問我們最少能得到第二種形狀的金屬板______片。

如何證明最少為15片?

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2014-6-13 20:26

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lyingheart

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9^# 大中小發表於 2014-6-14 15:07 只看該作者

回復 8# tsyr 的帖子

不好意思，讓你有這種誤解，我先拿掉

分成(1)與一股垂直和(2)與斜邊垂直
(1)假設GI與AC垂直，交AC於F
那麼GI與BC平行，就有 IF=r=32EC

2a+b−c=32

abb+c

4ab=3(ab+ac+b2−c2)

ab=3ac−3a2

3a+b=3c

9a2+6ab+b2=9c2=9a2+9b2

\displaystyle 3a=4b => a:b=4:3

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-14 11:09 PM 編輯 ]

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直角三角形內重垂直一股.png (9.8 KB)

2014-6-14 23:09

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tsyr

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10^# 大中小發表於 2014-6-15 17:30 只看該作者

終於有正常解法了
還勞煩老師再解一次

果然，除非真的沒辦法，還是少用解析法為妙吧!

謝謝老師

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