問一題三角函數csc^2(K)=(ab+ac+bc)/(a^2+b^2+c^2)

若K為三角形內一角且
csc^2(K)=(ab+ac+bc)/(a^2+b^2+c^2)
請問三角形的形狀?

\(\csc^2 k \geq 1\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq 1\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\geq a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\leq 0\)

\(\Rightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\leq 0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\leq0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\leq0\)

\(\Rightarrow a-b=0, b-c=0, c-a=0\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

此三角形為正三角形。

k=60度
但等式不相等

不管 \(k\) 是幾度， \(\csc^2 k\geq1\) 恆成立。

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我瞭你的疑惑了， 當 \(a=b=c\) 時， \(k=60^\circ\)，

但是 \(\displaystyle \csc^2 k =\frac{4}{3}\) ，且 \(\displaystyle \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=1\)

兩者不會相等，因此不存在這樣的三角形，此題目命題有誤。

（還是我哪裡有疏漏，再請大家提醒囉。　 ）

感謝您
您的推導証明沒錯
看起來命題有誤