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請教兩題考古題（幾何、三角函數）

best2218

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1^# 大中小發表於 2013-4-30 08:24 只看該作者

請教兩題考古題（幾何、三角函數）

在銳角三角形

ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD交於點H，以DE為直徑的圓分別交於AB、AC於F、G兩點，若FG與AH相交於點K，且BC=25，BD=20，BE=7，則AK的長度？

設

x，且x+y+z=

2，則cosx

siny

cosz的最小值。

版上的老師好，

想和各位請教兩題，謝謝!

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lyingheart

萊因哈特

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2^# 大中小發表於 2013-4-30 12:41 只看該作者

回復 1# best2218 的帖子

第一題
先得到 CE=24

CD=15
於是 sinB=2524

cosB=725

sinC=54

cosC=53
那麼 sinA=54

cosA=53
由正弦定理得到 AB=25

AC=30
所以BC邊的高為 24
由圓內接四邊形對角互補知道

AFG=

ADE=

ABC
以及

AGF=

AED=

ACB
所以三角形AFG,ADE,ABC都相似
以及FG//BC
那麼AK就是三角形AFG中,FG邊的高
而 FGDE=BCDE=cosA=53
所以 AK=24

925=25216

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thepiano

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3^# 大中小發表於 2013-4-30 13:14 只看該作者

第 2 題
x ≦ 60°
cosx * siny * cosz = cosx * (1/2)[sin(y + z) + sin(y - z)] ≧ (1/2) * cosx * sin(y + z) = (1/2) * (cosx)^2 ≧ (1/2) * (cos60°)^2 = 1/8

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simon112266

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4^# 大中小發表於 2013-4-30 13:35 只看該作者

引用:

原帖由 thepiano 於 2013-4-30 01:14 PM 發表
第 2 題
x ≦ 60°
cosx * siny * cosz = cosx * (1/2)[sin(y + z) + sin(y - z)] ≧ (1/2) * cosx * sin(y + z) = (1/2) * (cosx)^2 ≧ (1/2) * (cos60°)^2 = 1/8

想請問為甚麼sin(y-z)可以去掉然後當成一個下界

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thepiano

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5^# 大中小發表於 2013-4-30 13:44 只看該作者

y 大於或"等於" z

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best2218

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6^# 大中小發表於 2013-4-30 22:34 只看該作者

回復 2# lyingheart 的帖子

謝謝老師
也謝謝thepiano老師

一直忘了觀察X可能的限制，所以卡住!
感恩!提醒我還要注意的地方!

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