傍心

三角形ABC中,三邊長a=2,b=3,c=4,三個傍心為A',B',C',則三角形ABC:三角形A'B'C'=?

令 r_a, r_b, r_c 分別為三個傍切圓的半徑，三角形ABC的面積為 Δ，則

r_a= 2Δ / (b+c-a)

r_b=2Δ / (a+c-b)

r_c=2Δ / (a+b-c)

則

三角形A'B'C' 面積

= 三角形ABC 面積+三角形A'BC 面積+三角形AB'C 面積+三角形ABC' 面積

= Δ + (1/2)*a*r_a + (1/2)*b*r_b + (1/2)*c*r_c

= Δ  +  Δ*a / (b+c-a)  +  Δ*b / (a+c-b)  +  c*Δ / (a+b-c)

= Δ ( 1 +  a / (b+c-a)  +  b / (a+c-b)  +  c / (a+b-c) )

= Δ*32/5  (←←a=2, b=3, c=4 帶入的結果)



所以，三角形ABC面積  :  三角形A'B'C' 面積  =  5:32

請問以下等式是如何推得
r_a= 2Δ / (b+c-a)

r_b=2Δ / (a+c-b)

r_c=2Δ / (a+b-c)

以 r_a= 2Δ / (b+c-a) 為例

利用 ΔABC面積 = ΔA'BA面積 + ΔA'CA面積 - ΔA'BC面積

　　　　　　　= (1/2) * r_a * AB線段長 + (1/2) * r_a * AC線段長 - (1/2)*r_a* BC線段長

　　　　　　　= (1/2) * r_a * (c+b-a)

所以，  r_a= 2 ΔABC面積 / (b+c-a)