請問托勒密的反演證明

這個圖應該沒畫錯吧?
我的認知是\(\overline{DA}\cdot \overline{DA'}=\overline{DB}\cdot \overline{DB'}=\overline{DC}\cdot\overline{DC'}=r^{2}\)
畫了很多條線，看不出\(\overline{A'B'}\cdot \overline{AB}=\overline{DA}\cdot\overline{DB}=r^{2}\)怎麼得到的??
以及代入(*)的那一段\(\overline{A'B'}=\overline{AB}\times \frac{\displaystyle r^{2}}{\displaystyle \overline{DA}\cdot\overline{DB}}\)??
麻煩老師解惑!
謝謝

[ 本帖最後由 deca0206 於 2015-10-6 03:18 PM 編輯 ]

應該是這樣
\(\begin{align}
  & DA\times DA'=DB\times DB'={{r}^{2}} \\
& \frac{DA}{DB}=\frac{DB'}{DA'} \\
& \Delta DAB\sim \Delta DB'A' \\
& \frac{AB}{DB}=\frac{A'B'}{DA'} \\
& A'B'=\frac{AB\times DA'}{DB}=AB\times \frac{DA\times DA'}{DA\times DB}=AB\times \frac{{{r}^{2}}}{DA\times DB} \\
\end{align}\)

感謝老師
那請問\(\overline{A'B'}\cdot\overline{AB}=\overline{DA}\cdot\overline{DB}=r^{2}\)
這段是否有不合理處呢?
因為將\(r^{2}=\overline{DA}\cdot\overline{DB}\)代入\(\begin{align}\overline{AB}\times \frac{r^{2}}{\overline{DA}\cdot\overline{DB}}\Rightarrow \overline{A'B'}=\overline{AB}\\\end{align}\)

[ 本帖最後由 deca0206 於 2015-10-7 02:18 AM 編輯 ]

應該是筆誤啦

謝謝老師