倒數第二行貌似也有問題，\( c > \sqrt{3} b \)
\( a^2 = b^2 + bc \color{red}{>} b^2 + \sqrt{3} b^2 \) (原圖不等式寫反了，這樣會推不出 \( a< \sqrt{3} b \) )
實際上 \( a<\sqrt{3}b \) 是有問題的式子，反例：\( (a,b,c) = (45,25,56) \)
\( \sqrt{3}b \approx 43.3 < a \)
另證.
(1) \( \angle A=2\angle B\Rightarrow a^{2}=b(b+c) \)
說明：略，或見原圖
(2) 當周長最小時，\( \gcd(b,c)=1 \)。
若不然，取質數 \( p \)，滿足 \( p\mid\gcd(b,c) \)，則 \( p\mid b\Rightarrow p\mid a^{2} \)。
因此得 \( \frac{a}{p},\frac{b}{p},\frac{c}{p} \) 為另一組更小的周長，而得矛盾，故 \( \gcd(b,c)=1 \)
(3) 當周長最小時，\( b, b+c \) 皆為完全平方數。
承 (2) 有 \( \gcd(b,b+c)=\gcd(b,c)=1 \)，故 \( b,b+c \) 也互質。
又 \( b(b+c)=a^{2} \) 為一完全平方數，故 \( b, b+c \) 亦為完全平方數。
(4) 令 \( b=x^{2} \), \( b+c=y^{2} \)，則 \( (a,b,c)=(xy,x^{2},y^{2}-x^{2}) \)。
(5) \( c<a+b \) (三角不等式) \( \Rightarrow y<2x \)
(6) \( c>2b , y>\sqrt{3}x \), 周長 \( =xy+x^{2}+y^{2}-x^{2}>(3+\sqrt{3})x^{2} \)。
承 (1) 得 \( a^{2}=b^{2}+bc \)
由餘弦定理有 \( c^{2}>a^{2}+b^{2}=b^{2}+bc+b^{2}\Rightarrow c^{2}-bc-2b^{2}>0\Rightarrow c<-b \) 或 \( c>2b \)，故 \( c>2b \)。
(7) 以 (5)(6)易檢查 \( x=1,2,3 \) 時，\( a,b,c \) 無正整數解，\( x=4 \) 時，有唯一解 \( (a,b,c)=(28,16,33) \)，且周長為 77。
當 \( x\geq5 \) 時，由 (6) 周長 \( >(3+\sqrt{3})\cdot5^{2}\approx118.3 \)
故周長最小為 77
大致上是如此，細節幫忙看一下有無筆誤
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本帖最後由 tsusy 於 2015-6-29 11:19 PM 編輯 ]
