雖然想不出樓主所期待的純幾何解法，姑且提出冗長的拙見以拋磚引玉，若有錯誤敬請指正。
明顯地，若 X 與 A 重合，命題成立。以下只考慮 X 與 A 相異的情形。
構想: 把圖形放在極坐標(複數坐標)上。以 A 為原點，表出 X 與 T 的(複數)值。若能證明: T/X 是實數，則 A, X, T 共線 (充要條件)。
先複習複數乘除法: Z2 = Z1*(|Z2|/|Z1|)*(cosθ + i sinθ)，θ 是輻角差。理解為: Z1 經過伸縮 |Z2|/|Z1|，再旋轉 θ，到達 Z2 的位置。
現在把圖形放在複數坐標上，圖形各點各自代表一複數(以"="表示)。不失一般性，令 A=0，B=2，C=2Z。
再令 Za = cos a + i sin a， Zb = cos b + i sin b，1/Za = cos a - i sin a ，Za*Zb = cos(a+b) + i sin(a+b)。
則
T = 2 + (Z-1)*sec(a+b)*Za*Zb (先平移原點至 B，由 BC 中點出發，得到 T 的位置，再移回原點至 A; 以下其它點的取值法類似。)
F = (sec a) / Za (順時針)
E = Z*(sec a)*Za
X = (sec a) / Za + (1/2)*[ Z*Za - 1/Za ]*(sec a)*(sec b)*Zb
以下想證明 T/X 是實數。由於 Z 的任意性，猜想這個實數就是 Z 的係數比值: sec(a+b) / [(1/2)*(sec a)*(sec b)]。
基於這個觀察，為了簡化計算，分別自 T 與 X 中提出實數 sec(a+b) 與 (1/2)*(sec a)*(sec b):
T' = 2cos(a+b) + (Z-1)*Za*Zb
X' = 2(cos b) / Za + (Z*Za - 1/Za)*Zb
以下只要證明 T' = X' 就大功告成了。
由於 T' 與 X' 含有"Z"的項係數相等，所以只要比較不含"Z"的部分。
[註: Za = cos a + i sin a， Zb = cos b + i sin b，1/Za = cos a - i sin a， Za*Zb = cos(a+b) + i sin(a+b)]
實部 (T' 不含 Z 項) = cos(a+b) = (cos a)*(cos b) - (sin a)*(sin b) = 實部 (X' 不含 Z 項)
虛部 (T' 不含 Z 項) = -(sin a)*(cos b) - (cos a)*(sin b) = 虛部 (X' 不含 Z 項)
證畢。
