2015apmo

二
在凸四邊形\(ABCD\)中，\( ∠ABD=∠CBD=∠ADC=45^{\circ} \)，\( \overline{AB}=a \)，\(  \overline{BC}=b\)，\( \overline{CD}=c \)，\( \overline{DA}=d \)(\( a \ne b \))。試問\( \displaystyle \frac{a^2-b^2}{c^2-d^2} \)之值的範圍？


103.12.23版主補充
補上題目pdf檔
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暴力法：不失一般性假設 \( \overline{BD} = 1, \angle ADB = 22.5^\circ + \theta \)

由正弦定理可用 \( \sin, \cos, \theta \)，和角、差角表示四邊 a,b,c,d

和差化積、積化和差，(這不是什麼好方法，計算過程就算了吧，沒什麼意義)一番化簡可得，該比值 \(  = \sqrt{2} \cos 2\theta \)

故得範圍為 \( (1,\sqrt{2}) \)。

等樓下的幾何解

(原題目打字有漏，請參考附件中的題目檔)


基本想法: 依題目角度引入輔助圓，再利用輔助圓的半徑聯繫題目的條件。


1. 作對角線 AC 與 BD。以 AC 為直徑作一圓 C1 (令其半徑 = r) ，其與對角線 BD 交於 B ，O 兩點。其中 O 點平分 AC 弧 (因∠OBA =∠OBC)。


2.  再以 O 為圓心，OA (= OC) 為半徑作另一圓 C2，則其半徑 = √2 r。那麼 D 將位於 C2 之優弧 AC上 (因 C2 之劣弧 AC = 90°，而∠ADC = 45°)。


3. 令 ∠ACB = θ，0 < θ < 90°，且 θ ≠ 45°，則∠BDC = ∠BOC /2 = ∠BAC /2 = 45°- (θ/2)，從而 ∠ADB = θ/2。


4. a = 2r*sinθ，b = 2r*cosθ，c = 2*√2 r*cos(45°- (θ/2))，d = 2*√2 r*cos(θ/2)。


5. 所求 (a² - b²) / (c² - d²)


= (sin²θ - cos²θ) / [2cos²(45°- (θ/2)) - 2cos²(θ/2)]


= (sin²θ - cos²θ) / [cos(90°- θ) +1 - cosθ -1]


=  (sin²θ - cos²θ) / (sinθ - cosθ) (0 < θ < 90°，且 θ ≠ 45°)


= sinθ + cosθ


= √2sin(θ+45°)


又 45° < θ+45° < 135°，且 θ+45° ≠ 90°，故 (1/√2) < sin(θ+45°) < 1，即 1< (a² - b²) / (c² - d²) < √2 。




心得:
1. 題目有不固定的圖形，但有固定的角度時，可考慮引用輔助圓。
2. 以某線段為弦的圓弧有無限多個；但若圓弧角度確定時，則恰有 2 個。