請教一題三角函數

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\(\triangle ABC\angle A,\angle B,\angle C\) 對邊長為 \(a,b,c\)，\(\triangle ABC\) 的面積為 \(a^2-\left(b-c\right)^2\)，求 \(\tan A=?\)

\(\begin{align}
  & \frac{1}{2}bc\sin A={{a}^{2}}-{{\left( b-c \right)}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A-{{\left( b-c \right)}^{2}}=2bc-2bc\cos A \\
& \sin A+4\cos A=4 \\
& {{\sin }^{2}}A+{{\cos }^{2}}A=1 \\
\end{align}\)
解聯立

由三角形的內切圓圖形，可導出:


tan(A/2) = √[(s-b)(s-c) / s(s-a)]，這裡 s 表示半周長。


ΔABC 的面積 = a² - (b-c)² = (a+b-c)(a-b+c) = 4(s-c)(s-b) = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]


故 √[(s-b)(s-c) / s(s-a)] = 1/4 = tan(A/2)


tanA = 2*(1/4) / [1-(1/4)²] = 8/15