三角函數 證明題

設C、D三等份AB線段（A－C－D－B），再以CD線段為直徑之半圓上取異於C、D之點E，令∠AEC=α，∠BED=β
試證：tanα‧tanβ = ¼

經典考古題!
在AE上取一點F，使得FC垂直CE於C
在BE上取一點G，使得GD垂直DE於D
得FC//ED，GD//CE
令FC=a，GD=b
則CE=2b，DE=2a
接下來看直角三角形FCE和EDG即可~~

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-8-15 08:11 PM 編輯 ]

作\(\overline{AF}\)垂直直線CE於F，\(\overline{BG}\)垂直直線DE於G

則\(△ACF\cong △DCE\cong △DBG\quad \left( AAS \right)\)

\(\tan \alpha \times \tan \beta =\frac{\overline{AF}}{\overline{EF}}\times \frac{\overline{BG}}{\overline{EG}}=\frac{\overline{DE}}{2\overline{CE}}\times \frac{\overline{CE}}{2\overline{DE}}=\frac{1}{4}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-8-15 07:49 PM 編輯 ]