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圓的問題

tsyr

1# 大 中 小 發表於 2014-8-6 19:20  只看該作者

圓的問題

座標平面上，點(a,b)在圓x^2+y^2=1上，點(c,d)在圓(x-2)^2+(y-2)^2=4上，則(ad-bc)^2之最大值為____________。

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-8-6 07:22 PM 編輯 ]

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thepiano

2# 大 中 小 發表於 2014-8-6 20:46  只看該作者

回復 1# tsyr 的帖子

  a2+b2=1c−22+d−22=4  2a−2b2a2+b222+−22=82a−2b22  ad−2−bc−22a2+−b2d−22+c−22=4ad−bc−2a−2b2ad−bc2+22ad−bc212+82

等號成立於a=−b=22c=d=2+2 

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tsyr

3# 大 中 小 發表於 2014-8-6 21:26  只看該作者
我懂了
謝謝鋼琴老師
忘記說這題是101學科能力競賽區預賽試題

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thepiano

4# 大 中 小 發表於 2014-8-6 21:28  只看該作者

回復 3# tsyr 的帖子

也可以這樣做
  a=cosb=sinc=2+2cosd=2+2sin    ad−bc=2cos−2sin+2sincos−cossin  =22sin4−  +2sin−  22+2  ad−bc212+82

等號成立的條件同上

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tsusy

寸絲
5# 大 中 小 發表於 2014-8-6 22:01  只看該作者

回復 1# tsyr 的帖子

給個另解. ad−bc 是平行四邊形面積，或是以 (00)(ab)(cd) 為的頂點的三角形的兩倍面積。

不難得到 c2+d2  有最大值且該三角形在原點的角為直角時有面積有最大值。
網頁方程式編輯 imatheq

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tsyr

6# 大 中 小 發表於 2014-8-6 22:09  只看該作者
柯西好用
圓的參數式
再加上幾何解法
真是個好題目

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cefepime

7# 大 中 小 發表於 2014-8-7 01:05  只看該作者
(ad - bc)² 之最大值

=(bd - ac)² 之最大值 (由於 x² + y² = 1 對稱於 x = y；或者說因 (x-2)² + (y-2)² = 4 對稱於 x = y 亦可)

=(bd + ac)² 之最大值 (由於 x² + y² = 1 對稱於 y 軸)

因此題意即，在兩圓上分別有P，Q兩點，求向量OP與OQ內積平方之最大值(O為原點)

明顯地，取Q為離O最遠之點，P與O，Q共線即可:

所求 = [1*(2+2√2)]² = 12+8√2



(感覺題目所求的"平方"，有些多餘。)




[ 本帖最後由 cefepime 於 2014-8-7 01:15 AM 編輯 ]

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