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證明平行

tsyr

1# 大 中 小 發表於 2014-6-17 20:16  只看該作者

證明平行

不好意思，又來打擾了

在銳角三角形ABC中，點 D, E, F是過A, B, C對三邊的垂足。三角形AEF和BDF的內心分別為I1和I2
，三角形ACI1和BCI2 的外心分別為O1和O2 。試證：I1I2 平行O1O2

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-6-17 08:18 PM 編輯 ]

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lyingheart

萊因哈特
2# 大 中 小 發表於 2014-6-18 05:33  只看該作者
先證明A、B、 I1 、 I2 共圓
令三角形ABC的內心為 I
因為三角形AFE和ABC相似，且相似比為 cosA
令 r1 、 r 分別為三角形AFE和ABC的內切圓半徑
那麼 r1=rcosA

IA=rsin2A

I1A=r1sin2A=sin2ArcosA

II1IA=sin22Ar2(1−cosA)=2r2

同理  II2IB=2r2

故結論成立

所以若 I3 為三角形CDE的內心，那麼 C、I3、I1、A 以及 C、I3、I2、B 共圓
所以 O1O2 和 CI3 垂直
又 II1I2=IBA=21ABC 且 I1II3=90o+21ABC
所以I1I2 和 CI3 垂直
故得證

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-18 05:21 PM 編輯 ]

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tsyr

3# 大 中 小 發表於 2014-6-18 18:36  只看該作者
太神了!
如何能夠想到 先證明共圓 呢(因為它要證明平行，很難想到和共圓有關)方便說明並引導一下，解題的思路歷程or訣竅嗎?
因為自己做題目時，都無法自己找到正確的方向。

還是多謝老師了

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lyingheart

萊因哈特
4# 大 中 小 發表於 2014-6-18 21:30  只看該作者

回復 3# tsyr 的帖子

因為那兩條線感覺上沒有共通性，所以就是找共同垂直的直線；
而顯然兩圓交點連線與連心線垂直，所以或許交點連線是可行的；
接著就找出另一個交點，用GGB畫個圖就可以猜到是三角形CDE的內心；
剩下的就是想辦法證出來............

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tsyr

5# 大 中 小 發表於 2014-6-19 05:31  只看該作者
謝謝老師

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