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三角函數：a+b+c=0，求 cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)的最小值？

weiye

瑋岳

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1^# 大中小發表於 2013-9-28 00:45 只看該作者

三角函數：a+b+c=0，求 cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)的最小值？

已知 a+b+c=0，求 cos2a+cos2b+cos2c 的最小值為何？

小弟沒有答案（因為是看到其他題目，隨便亂想修改的題目～）

或是把上題變形，換個方式改問：

已知 x+y+z=0，求 cosx+cosy+cosz 的最小值為何？（當然答案就不一樣了～）

多喝水。

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Ellipse

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2^# 大中小發表於 2013-9-28 12:52 只看該作者

引用:

原帖由 weiye 於 2013-9-28 12:45 AM 發表
已知 a+b+c=0，求 cos2a+cos2b+cos2c 的最小值為何？

小弟沒有答案（因為是看到其他題目，隨便亂想修改的題目～）

或是把上題變形，換個方式改問：

已知 x+y+z=0，求 cosx+cosy+cosz 的最小值為 ...

第一個答案是0.75
第二個答案是-1.5

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tsusy

寸絲

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3^# 大中小發表於 2013-9-28 13:09 只看該作者

回復 1# weiye 的帖子

變形的解

cosz=cos(−x−y)=cos(x+y)

cosx+cosy+cos(x+y)=cosx+2cos(y+2x)cos2x

cosx+2cos(y+2x)cos2x

2cos2(2x)−1−2

cos2x

=2(

cos2x

−21)2−23

−23。
(感謝 weiye 指正 cosx=2cos2(2x)−1 ↑)

當 (cos2x

cos(y+2x))=

(21

−1) 時，有最小值 −23 。

例 x=y=32

z=−34

cosx=cosy=cosz=−21。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-9-28 08:43 PM 編輯 ]

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Ellipse

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4^# 大中小發表於 2013-9-28 15:28 只看該作者

第一題利用第二題來解:
如果已證第二題,可將題目改成
已知2a+2b+2c=0,則cos(2a)+cos(2b)+cos(2c)的最小值為-3/2-------------(*)

現在回到第一題來
(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2
=(3/2) + (1/2)* [cos(2a)+cos(2b)+cos(2c)]
>=(3/2) +(1/2)*(-3/2) (由(*)得)
=3/4

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weiye

瑋岳

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5^# 大中小發表於 2013-9-28 17:34 只看該作者

回復 3# tsusy, 4# Ellipse 的帖子

感謝各位，讚。 :-D

另外，有個小打字錯誤~ 不過無傷大雅~

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順便祝大家教師節快樂～哈哈！

多喝水。

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Ellipse

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6^# 大中小發表於 2013-9-29 12:29 只看該作者

weiye兄
如果將第一題改成
已知x_1+x_2+.......+x_{2n+1}=0 ,求[cos(x_1)]^2+[cos(x_2)]^2+..............+[cos(x_{2n+1})]^2的最小值
這個答案會是什麼呢?
(是否可以寫出n的函數?)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2013-9-29 12:42 PM 編輯 ]

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weiye

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7^# 大中小發表於 2013-9-29 14:10 只看該作者

回復 6# Ellipse 的帖子

變形後也就是問~

設 n 為正整數，已知 a1+a2+

+an=0，求 cosa1+cosa2+

+cosan 的最小值為何？

當 n 為偶數時，可以容易得知 cosa1+cosa2+

+cosan 的最小值為 −n，最大值為 n。

當 n 為奇數時，？

我沒有想法耶，不知道 ellipse 老師有沒有蝦咪猜測呢？

多喝水。

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Ellipse

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8^# 大中小發表於 2013-9-29 14:49 只看該作者

引用:

原帖由 weiye 於 2013-9-29 02:10 PM 發表
變形後也就是問~

設 n 為正整數，已知 a1+a2++an=0，求 cosa1+cosa2++cosan 的最小值為何？

當 n 為偶數時，可以容易得知 cosa1+cosa2++cosan 的最小值為 ...

(1)針對 k=cos a_1+cos a_2+..........+cos a_n最小值猜想:
n為正奇數時,當n越大時,k值是遞減的
(i)n=3 ,k= -1.5
(ii)n>=5時 ,-n<k<-n+1
也就是[k]= -n ( [k]表示小於等於k的最大整數)
會不會k值趨近於-n?

(2)針對 t=(cos a_1)^2+(cos a_2)^2+..........+(cos a_n)^2最小值猜想:
n為正奇數時,當n越大時,t值是遞減的
會不會t值會趨近於0?
(目前猜測 3/(n+1) - t < 0.03 ,當n>=3 )

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weiye

瑋岳

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9^# 大中小發表於 2013-9-29 19:05 只看該作者

回復 8# Ellipse 的帖子

令 k=cosa1+cosa2+

+cosan 的最小值

當 n=3 時，由之前的證明可知存在三實數

　　　　　　　使得 a1=

a2=

a3=

滿足 a1+a2+a3=0

　　　　　　　cosa1+cosa2+cosa3=cos

+cos

=2−3

當 n

3 且 n 為奇數時，因為可取

　　a1=

a2=

a3=

，ai=−

aj=

其中 i 為大於 3 的偶數，j 為大於 3 的奇數，

　　使得 a1+a2+

+an=0 且 cosa1+cosa2+

+cosan=−23+

n−3

=23−n

　　可知 −n

k

23−n

limn

k−n=1

多喝水。

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tsusy

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10^# 大中小發表於 2013-9-29 21:15 只看該作者

回復 9# weiye 的帖子

以下有一些小錯誤，把這個想法實現的證明在 #13 處

(1) cos(x+2

)=cosx，可將已知條件改為

ni=1ai=2k

, for some k

Z。
(這個其實可以不用做，只是為了(2)說明方便)

(2) cosx+cosy=2cos(2x+y)cos(2x−y)，可取 y 的同界角，使得 cos(2x+y)

0。

則有 cos(x+y)

2cos(2x+y)

1=cos(2x+y)+cos(2x+y)。

由 (1)(2) 知，若有最小值，必發生在 ai=aj=n2k

i

j 這類的點上。

(3) S=

(a1

a2

an)

ai=2k

k

Z

為 Rn 中的緊緻集，f(a1

a2

an)=

ni=1cos(ai) 為 Rn

R 的連續函數。由連續函數最大最小值定理知 f 在 S 上必有最大最小值。

綜合以上，選取 k 接近 2n，使得 cos(n2k

) 最接近 −1，可達最小值。

即當 n=2k+1 時，取 a_{i}=\frac{2k\pi}{2k+1}，可得最小值 n\cos(\frac{2k\pi}{2k+1})。
(感謝 Ellipse 提醒修正負號)

偶數 n=2k ，weiye 老師已給出相同結果 a_i = \pi ，最小值 -n

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-9-30 11:24 PM 編輯 ]

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