第一題的第二小題，我的做法很醜陋(如下)，或許有更漂亮點的純幾何做法？拋磚引玉~
（註：感謝老王老師提供不用和角公式的做法～見最後的補充！ ^____^ ）
連接 \(\overline{BD}\)
因為 \(\overline{AD}\) 為直徑，所以 \(\angle ABD=90^\circ\)
因為 \(\displaystyle\angle ADB=\frac{1}{2}{\frown\atop{AB}}=\angle ACB\) 且 \(\displaystyle\tan\angle ACB=\frac{3}{4}\)
所以 \(\overline{AB}:\overline{BD}:\overline{AD}=3:4:5\)
在 \(\triangle AEH\) 與 \(\triangle ADB\) 中，
因為 \(\angle EAH=\triangle DAB\) 且 \(\angle ABD=90^\circ=\angle AHE\)
所以 \(\triangle AEH\sim\triangle ADB\Rightarrow \overline{AH}:\overline{EH}=\overline{AB}:\overline{BD}=3:4\)
且因為 \(\overline{EH}=8\)，所以 \(\overline{AH}=6\)
因為 \(\overline{AH}=6\) 且 \(H\) 是 \(\overline{OD}\) 的中點，
所以 圓的直徑＝\(\overline{AD}=\frac{4}{3}\overline{AH}=8\)
因為 \(\overline{AH}=6=\overline{HF}\) 且 \(\angle AHF=90^\circ\)，
所以 \(\angle HAF=45^\circ\)
由三角函數的和角公式，
得 \(\sin\angle BAC=\sin\left(\angle BAD+45^\circ\right)=\sin\angle BAD \cos45^\circ+\cos\angle BAD\sin45^\circ\)
\(\displaystyle=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{7}{5\sqrt{2}}\)
在 \(\triangle ABC\) 中，由正弦定理，
可得 \(\displaystyle\frac{\overline{BC}}{\sin\angle BAC}=\triangle ABC\mbox{的外接圓直徑}\)
\(\displaystyle\Rightarrow\frac{\overline{BC}}{\frac{7}{5\sqrt{2}}}=8\Rightarrow \overline{BC}=\frac{56}{5\sqrt{2}}\)
補充：
感謝老王老師提供不用和角公式的純幾何方法~~
因為 \(\triangle ACB\sim \triangle AEF\)，所以 \(\displaystyle\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AF}}\)
\(\displaystyle\Rightarrow \displaystyle\frac{\overline{BC}}{8+6}=\frac{\frac{24}{5}}{6\sqrt{6}}\Rightarrow \overline{BC}=\frac{56}{5\sqrt{2}}\)
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