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幾何證明題

sambulon

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1^# 大中小發表於 2012-7-5 15:49 只看該作者

幾何證明題

1.
已知A、B為圓O外之兩點，且OA

=OB，試作一直徑PQ，使得AP=BQ。

2.
在

ABC中，已知O、I分別為

ABC之外心與內心，若AB+AC=2BC，試證：OI⊥AI。

3.
已知E、F為AB之三等分點，且EF為圓O之直徑，設AP切圓O於D點，試證：∠ADE=∠PDB。

4.
在

ABC中，已知∠BAC=90

，∠ABC=60

，AB=2，設AD是BC邊上的高，E是AC上一點，且\(\Delta CDE\於)之外接圓O交BE於F點，令AE=x，則以x表示

DBF之面積。

5.
已知I為

ABC之內心，設ID⊥BC於D點，且AB

AC=2BD

DC，試證：∠A=90

。

6.
設a1、a2、

、a20是20個小於70的自然數，且a1

a2

a20，今任意取2個數為一組，並計算出差之絕對值，試證：這些差中至少有四組是相同的。

請教幾題證明題
謝謝 !!

附件

證明題.pdf (66.81 KB): 2012-7-5 15:49, 下載次數: 6870

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2^# 大中小發表於 2012-7-6 21:16 只看該作者

回復 1# sambulon 的帖子

第一題
作B關於O的對稱點C
作AC的中垂線交圓O於P，P'
作直徑PQ和P'Q'即為所求。

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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3^# 大中小發表於 2012-7-6 21:20 只看該作者

回復 1# sambulon 的帖子

第二題
參考
http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... &l=f&fid=11
由性質四直接得到。

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4^# 大中小發表於 2012-7-6 22:36 只看該作者

回復 1# sambulon 的帖子

第三題
分別過E、B作AP的垂線，垂足為G、H，
EG : BH=1 : 3
GD : DH=EO : OB=1 : 3
所以三角形EGD和三角形BHD相似
角ADE=角PDB

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5^# 大中小發表於 2012-7-6 22:53 只看該作者

回復 1# sambulon 的帖子

第四題
BD=1
分別過E、F作BD的垂線，垂足為G、H，
FH : EG=BF : BE
角BFD=角C=角BAD，所以A、B、D、F四點共圓，角AFB=90度。
所以 BF:FE=BA2:AE2=4:x2
FH=44+x2EG=44+x2

22

3−x
\displaystyle (BDF)=\frac{1}{2} \times BD \times FH=\frac{2\sqrt{3}-x}{4+x^2}

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6^# 大中小發表於 2012-7-6 23:12 只看該作者

回復 1# sambulon 的帖子

第五題
bc=2(s-b)(s-c)
2bc=(a+c-b)(a+b-c)=a^2-(b-c)^2=a^2-b^2+2bc-c^2
a^2=b^2+c^2

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