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正八面體的塗色問體

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正八面體的塗色問體

8個顏色塗在正8面體,每面塗一色 有幾種不同的圖案?
請教一下,多謝
jack

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先將正八面體當作是〝固定〞在空中,不可以任意旋轉翻轉的固體,

恰使用八種顏色塗上八個面,共有 \(8!\) 種方法。

接下來處理因為各種翻轉跟旋轉所導致的重複,


把八面體的某的頂點吊起來,

圖形會是上下有兩個四角錐的組合,

當中有 \(6\) 個點都可以當最下面的那個點,

並且最底下的點確定是哪個點之後,四角錐的底面位置可以依序旋轉 \(4\) 次都是一樣的,

所以,題目所求的塗色方法數是 \(\displaystyle\frac{8!}{6\times4}.\)






另解,



如上圖,當中有 \(8\) 個面都可以當最下面的那個正三角形,

並且最底下的正三角形顏色確定之後,因為最下面是正三角形(正三角形有三個相同邊喔)可以依序旋轉 \(3\) 次都是一樣的,

所以,題目所求的塗色方法數是 \(\displaystyle\frac{8!}{8\times3}.\)

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請問一下  如果題目是6種不同顏色圖在一個長寬高都不同的長方體表面的話  總共會有

6!/(2*2*2) 種塗法嗎??

謝謝

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引用:
原帖由 smith 於 2010-6-11 10:04 PM 發表
請問一下  如果題目是6種不同顏色圖在一個長寬高都不同的長方體表面的話  總共會有

6!/(2*2*2) 種塗法嗎??

謝謝
6種不同顏色圖在一個長寬高都不同的長方體表面的話  總共會有 \(\displaystyle\frac{6!}{2\times2}\) 種塗色。

先把圖形固定,上色有 6! 種,

因為上下可翻轉 2 種,四周可旋轉 2 種,所以每 \(2\times2\) 種配色會是相同一種,

所以共有 \(\displaystyle \frac{6!}{2\times2}\) 種塗色。



Note: \(\displaystyle \frac{\mbox{看作絕對位置時的塗色數}}{\mbox{可為底面的翻轉數}\times\mbox{四周的旋轉數}}.\)

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