請教3題數學（三角函數、橢圓、尤拉函數）

1.      1. 設x*x+y*y=1，試求x*x – 2xy + 3y*y之最大值和最小值。
A：最大值2 + 根號2；最小值2 - 根號2


2.      2. 一人造衛星其繞行軌道是橢圓，以地心為一焦點，這衛星離地面的最大高度為800公里，
　　　　而離地面的最小高度為200公里，又地球半徑是6400公里，求這橢圓軌道的長軸長和短軸長。
A：長軸長13800公里，短軸長13787公里。


3.      3. 如何證明尤拉函數。

以上3題，煩請高手解答，謝謝！

第一題

令 x=cosy=sin，則 x2−2xy+3y2 可以利用倍角公式降次，再疊合，可求得最大值與最小值。





第二題

a+c=6400+800a−c=6400+200

a=6900c=300b=a2−c2=120033 

2a=138002b13787




第三題

先證明 n  是 multiplicative，

再證當 n=pk 時（其中 p 是質數，k 是自然數），pk=1−p1pk ，

把兩者合併在一起用，就可以得證了。

詳見 http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_function