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所圍三角形個數

chu1976

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1^# 大中小發表於 2008-10-22 11:54 只看該作者

所圍三角形個數

平面上凸n邊行之對角線沒有三線共點者,則由此凸n邊行之邊與對角線所圍出三角形個數
=C(n,3)+4C(n,4)+5C(n,5)+C(n,6)
其中C(n,m)表示從n個相異物中取m個

此等式中第2,3項之係數分別為4,5,線上各位老師是否有人知道呢?!
又此等式又該如何解釋呢?

111.4.19補充
任給一凸八邊形，試問其各邊及對角線最多可交出多少個三角形？
(建中通訊解題第126期，連結已失效h ttp://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37)

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weiye

瑋岳

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2^# 大中小發表於 2008-10-22 15:50 只看該作者

已知平面上凸 n 邊形之對角線沒有三線共點者

由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形可以分成下列幾種情況：

case i: 三角形的三頂點都在原來的 n 個頂點中，

　　　由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取三個頂點連接之後，

　　　即會造成一個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）

　　　所以此種情形有 1×C(n, 3)

case ii: 三角形的兩個頂點在原來的 n 個頂點中，一個在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），

　　　由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取四個頂點連接之後，

　　　即會造成四個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）

　　　所以此種情形有 4×C(n, 4)

case iii: 三角形的一個頂點在原來的 n 個頂點中，兩個在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），

　　　由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取五個頂點連接之後，

　　　即會造成五個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）

　　　所以此種情形有 5×C(n, 5)

case iv: 三角形的三個頂點都落在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），

　　　由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取六個頂點連接之後，

　　　即會造成一個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）

　　　所以此種情形有 1×C(n, 6)

所以，由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形個數

　　　=　1×C(n,3)+4×C(n,4)+5×C(n,5)+1×C(n,6)

多喝水。

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chu1976

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3^# 大中小發表於 2008-10-22 21:08 只看該作者

那為什麼不繼續討論C(n,7)呢?!

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weiye

瑋岳

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4^# 大中小發表於 2008-10-22 22:53 只看該作者

因為所求的三角形的三個頂點只有這四種可能性呀，

而以凸 n 邊形的頂點去取三角形、四邊形、五邊形、六邊形

就是產生這四種情況的最小單位呀。 :-)

多喝水。

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arend

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5^# 大中小發表於 2010-5-3 21:47 只看該作者

請問第三種情況,怎麼產生5種情況呢?
我只找到三個
這三個是內被兩點與其餘三點所構成
另兩點與這內部兩點構成一直線
謝謝

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weiye

瑋岳

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6^# 大中小發表於 2010-5-3 22:26 只看該作者

case iii 的圖：

多喝水。

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arend

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7^# 大中小發表於 2010-5-3 22:54 只看該作者

謝謝
我只畫一條線而已,所以.....嗨

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alexchow

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8^# 大中小發表於 2024-10-24 20:04 只看該作者

謝謝老師,以上講的好仔細!感恩!
老師,因我解以下相關類題,看不懂!請老師指點!

凸n邊形的頂點，共可連出 C(n 3) 個△→這我知道了!
問:
(1).恰共用一個邊的有幾個△
(2).恰共用兩個邊的有幾個△
(3).完全不共邊的有幾個△
老師,請問(1).(2).(3)用排容做嗎?思路應是如何?我怎就解不出來呀!解不完整!

[ 本帖最後由 alexchow 於 2024-10-25 07:55 編輯 ]