請教兩題多項式問題

13.
若實數\(x,y,z\)滿足\( \cases{\displaystyle \frac{x}{2010}+\frac{y}{2013}+\frac{z}{2016}=1 \cr \frac{x}{2011}+\frac{y}{2014}+\frac{z}{2017}=1 \cr \frac{x}{2012}+\frac{y}{2015}+\frac{z}{2018}=1} \)，則\(x+y+z=\)？

14.
有多少個各項係數為2018或\(-2018\)，且根全為實數的多項式？

兩題多項式問題麻煩大家集思廣益
謝謝
http://web.kshs.kh.edu.tw/math/e ... 07PDF/107_1_2_1.pdf

1.
設 \( (x,y,z) \) 為原方程式的一組解，
考慮以 \( a \) 為未知數的方程式 \( \frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 3}} + \frac{z}{{a + 6}} = 1\)
則 \( a=2010, 2011, 2012 \) 均滿足上式。

整理成多項式方程式的形式
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 3}} + \frac{z}{{a + 6}} = 1 \)
\( \Rightarrow x({a^2} + 9a + 18) + y({a^2} + 6a) + z({a^2} + 3a) = {a^3} + 9{a^2} + 18a \)
\( \Rightarrow {a^3} + (9 - x - y - z){a^2} + (18 - 9x - 6y - 3z)a - 18x = 0 \)

依然有 \( a=2010, 2011, 2012 \) 均滿足上式。

故 \( {a^3} + (9 - x - y - z){a^2} + (18 - 9x - 6y - 3z)a - 18x = 0 \) 之三根為 \( a=2010,2011,2012 \)

由根與係數關係可得 \( 2010+2011+2012 = x + y + z - 9 \Rightarrow x + y + z = 6042 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2018-12-3 11:23 編輯 ]

設 \( f(x) \) 滿足題意的 \( n \) 次多項式，其中 \( n \in \mathbb N \)

令 \( a_k \), \( k=1,...,n \) 為 \( f(x)=0 \) 之解

由根與係數關係有 \( \sum\limits_{k = 1}^n a_k  =  \pm 1,\sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} a_ia_j  =  \pm 1 ,\prod\limits_{k = 1}^n a_k  =  \pm 1\)

\( \sum\limits_{k = 1}^n a_k^2 =  {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n a_k } \right)^2} - 2\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^{i - 1} a_ia_j  = 1 \mp 2 =  - 1{\rm{ or 3}}} \)，負不合(均實根)，故 \( \sum\limits_{k = 1}^n {a_k^2 } =3 \)

另一方面，由算幾不等式有
\( \sum\limits_{k = 1}^n {a_k^2}  \ge n\sqrt[n]{{\prod\limits_{k = 1}^n {a_k^2} }} = n \)

故 \( n \leq 3 \)

以下依 \( n \) 的值討論
(1) \( n=1 \) 時，係數 \( \pm 2018 \) 均可
(2) \( n=2 \) 時，\( f(x) = \pm 2018 (x^2 \pm x -1) \)，兩組正負可任意搭
(3) \( n=3 \) 時，算幾不等式中等號成式，故 \( a_1^2 = a_2^2 = a_3^2 =1 \)

\( f(x) = \pm 2018 (x-1)(x+1)(x \pm 1) \) (其餘可檢查不合)

補充一下：這兩題是 107-1 雄中高一第二次段考考題，填充題最後兩題