106全國第3次學測模擬考

請教各位老師  這題怎麼計算  謝謝
F.
小明發明了一個數線跳棋遊戲，首先將棋子放在原點，然後依序寫出\( a_1,a_2,\ldots,a_{10} \)等10個相異的整數，接著計算\(a_2-a_1\)的值，並依照計算出來的值移動棋子（例如“\(+3\)”就往右移動3單位，“\(-2\)”就往左移動2單位）。接下來計算\(a_3-a_2\)的值並移動棋子，依序計算並移動\(a_{n+1}-a_n\)的值，直到移動完\(a_{10}-a_9\)的值為止。
已知小明隨意將1~10的10個整數填入\(a_1,a_2,\ldots,a_{10}\)，整個遊戲移動過程中只有轉向一次，最後停在數線上標示為“1”的位置，請問小明將1~10的10個整數填入\(a_1,a_2,\ldots,a_{10}\)的方法有　　　種。(例如：\(a_1,a_2,\ldots,a_{10}\)，依序為1,3,4,5,10,9,8,7,6,2，其移動過程為\(+2,+1,+1,+5,-1,-1,-1,-1, -4\)，只轉向一次，最後停在“1”的位置）

\(\begin{align}
  & \left( {{a}_{2}}-{{a}_{1}} \right)+\left( {{a}_{3}}-{{a}_{2}} \right)+\cdots +\left( {{a}_{9}}-{{a}_{8}} \right)+\left( {{a}_{10}}-{{a}_{9}} \right)=1 \\
& {{a}_{10}}-{{a}_{1}}=1 \\
\end{align}\)

有以下兩種情形，可以僅轉向一次

(1) \({{a}_{1}}=1,{{a}_{10}}=2\)
先填10，剩餘的3、4、5、6、7、8、9都有2種填法
一種在1～10之間，另一種在10～2之間
故有\({{2}^{7}}=128\)種方法
填在1~10之間的數依升冪排列，填在10～2之間的數依降冪排列

(2) \({{a}_{1}}=9,{{a}_{10}}=10\)
先填1，剩餘的2、3、4、5、6、7、8都有2種填法
一種在9～1之間，另一種在1～10之間
故有\({{2}^{7}}=128\)種方法
填在9~1之間的數依降冪排列，填在1～10之間的數依升冪排列

所求為256種