請教一題級數

Ellipse

1^# 大中小發表於 2013-9-29 21:44 只看該作者

證明Sigma {k=1 to n} (-1)^(k+1) * (1/k) * C(n,k) =1+1/2 +1/3+.......+1/n
(其中C(n,k)為 n中取k的組合數)

這題有沒有比較快的證法,小弟用歸納法搞得很複雜~

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tsusy

寸絲

2^# 大中小發表於 2013-9-29 22:02 只看該作者

回復 1# Ellipse 的帖子

好像在哪看過，直覺就是二項式定理

n−1k=0(1+x)k=x(1+x)n−1=

nk=1Cknxk−1，

積分得

n−1k=0(1+x)kdx=

nk=1k1Cknxk+c

而得

n−1k=01k+1(1+x)k+1=

nk=1k1Cknxk+c

x=0 代入得 c=

nk=1k1,

x=−1 代入得

nk=1(−1)k+1

kCkn=c=

nk=1k1

網頁方程式編輯 imatheq

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Ellipse

3^# 大中小發表於 2013-9-30 11:50 只看該作者

漂亮!簡潔有力~
感謝~

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