排列組合與機率(各一題)

1.某次象棋邀請賽,甲方派出代表隊,每位選手贏得對手的機會都是2/3,每場比賽採三戰兩勝制,(即每對各派三位選手,先贏得兩位者便算勝利),若比賽共有五隊參加,採循環賽,每隊都要比賽四場,求雄中獲得三勝一負之戰績的機率,設此機率可化簡成(2^a*5^b*7^c)/3^d,則a+b+c+d=?
2.用三種不同顏色的油漆,去塗有六個葉片,可轉動的電風扇,顏色可不必全部都使用且油漆可無限供應,但規定相鄰的葉片不可同色,則有幾種塗法.謝謝

題目1：某次象棋邀請賽,雄中派出宇宙超級無敵代表隊,每位選手贏得對手的機會都是2/3,每場比賽採三戰兩勝制,(即每對各派三位選手,先贏得兩位者便算勝利),若比賽共有五隊參加,採循環賽,每隊都要比賽四場,求雄中獲得三勝一負之戰績的機率,設此機率可化簡成\(\displaystyle\frac{2^a\times5^b\times7^c}{3^d}\),則 \(a+b+c+d=?\)

解答：

雄中隊贏其他任何一校的機率 \(\displaystyle=\left(\frac{2}{3}\right)^2+C^2_1\times\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{20}{27}.\)

　　　　　　　　　　　　　　（ ↑ 先得兩勝，第三場就不用比了！）

雄中隊與其他四校比賽，恰三勝一負的機率 \(\displaystyle=C^4_3\left(\frac{20}{27}\right)^3\left(1-\frac{20}{27}\right)=\frac{2^8\times5^3\times7^1}{3^{12}}.\)

故，所求為 \(8+3+1+12=24.\)






題目2：用三種不同顏色的油漆,去塗有六個葉片,可轉動的電風扇,顏色可不必全部都使用且油漆可無限供應,但規定相鄰的葉片不可同色,則有幾種塗法.

解答：

先當作是不會轉動的葉片，相鄰塗異色，

塗法有 \(3\times2^5 - 3\times2^4 + 3\times2^3 - 3\times2^2 + 3\times2 = 66\) 種。

（關於上面這行的補充資料詳見：https://math.pro/db/thread-499-1-1.html）


這不會轉動的 \(66\) 種塗法中包含有如下，

　　每兩葉片重複顏色循環：\(C^3_2\times2!=6\)

　　每三葉片重複顏色循環：\(C^3_3\times3!=6\)

　　每六片顏色重複循環：\(66 - 6 - 6 = 54\)


再來考慮葉片可以轉動（環狀排列），

所以方法數為 \(\displaystyle\frac{6}{2} + \frac{6}{3} + \frac{54}{6} = 14.\)




題目出處：91年度雄中三年級全類組第二次模擬考
　　　　　http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/ra/RA433.pdf

感謝weiye老師的解答,連這兩題出處都馬上知道,佩服,佩服,看你在數學的教學熟練度,我真要好好檢討,加強自己實力,為學生也為提升自己程度,對於weiye老師的電扇解答,第一式中,3*2^5-3*2^4+3*2^3-3*2^2+3*2,可否麻煩weiye老師,再述何意,謝謝

[ 本帖最後由 kittyyaya 於 2010-11-8 11:33 PM 編輯 ]

我在這篇 https://math.pro/db/thread-499-1-1.html 的回覆裡面有提到 \(a_n+a_{n-1}=k\left(k-1\right)^{n-1}\) 的由來（解釋），

我只是重複利用那個公式，

可以得到 \(a_6= 3\times2^5-a_5\)

　　　　　\(=3\times2^5-\left(3\times2^4-a_4\right)\)

　　　　　\(=3\times2^5-\left(3\times2^4-\left(3\times2^3-a_3\right)\right)\)

　　　　　\(=3\times2^5-\left(3\times2^4-\left(3\times2^3-\left(3\times2^2-a_2\right)\right)\right)\)

又 \(a_2=3\times2\)，所以就得到 \(3\times2^5 - 3\times2^4 + 3\times2^3 - 3\times2^2 + 3\times2 = 66\) 種


不旋轉的環狀，相鄰塗異色，其實可以推出一個固定的公式，

在高中數學 101 那本書裡面也有證明，它寫在排列組合那個範圍（書不在手邊，我不知在第幾頁）。

^_^