排列組合與機率(各一題)

1.某次象棋邀請賽,甲方派出代表隊,每位選手贏得對手的機會都是2/3,每場比賽採三戰兩勝制,(即每對各派三位選手,先贏得兩位者便算勝利),若比賽共有五隊參加,採循環賽,每隊都要比賽四場,求雄中獲得三勝一負之戰績的機率,設此機率可化簡成(2^a*5^b*7^c)/3^d,則a+b+c+d=?
2.用三種不同顏色的油漆,去塗有六個葉片,可轉動的電風扇,顏色可不必全部都使用且油漆可無限供應,但規定相鄰的葉片不可同色,則有幾種塗法.謝謝

題目1：某次象棋邀請賽,雄中派出宇宙超級無敵代表隊,每位選手贏得對手的機會都是2/3,每場比賽採三戰兩勝制,(即每對各派三位選手,先贏得兩位者便算勝利),若比賽共有五隊參加,採循環賽,每隊都要比賽四場,求雄中獲得三勝一負之戰績的機率,設此機率可化簡成3d2a5b7c,則 a+b+c+d=?

解答：

雄中隊贏其他任何一校的機率 =322+C123221−32=2720 

　　　　　　　　　　　　　　（ ↑ 先得兩勝，第三場就不用比了！）

雄中隊與其他四校比賽，恰三勝一負的機率 =C34272031−2720=312285371 

故，所求為 8+3+1+12=24






題目2：用三種不同顏色的油漆,去塗有六個葉片,可轉動的電風扇,顏色可不必全部都使用且油漆可無限供應,但規定相鄰的葉片不可同色,則有幾種塗法.

解答：

先當作是不會轉動的葉片，相鄰塗異色，

塗法有 325−324+323−322+32=66 種。

（關於上面這行的補充資料詳見：https://math.pro/db/thread-499-1-1.html）


這不會轉動的 66 種塗法中包含有如下，

　　每兩葉片重複顏色循環：C232!=6

　　每三葉片重複顏色循環：C333!=6

　　每六片顏色重複循環：66−6−6=54


再來考慮葉片可以轉動（環狀排列），

所以方法數為 26+36+654=14




題目出處：91年度雄中三年級全類組第二次模擬考
　　　　　http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/ra/RA433.pdf

感謝weiye老師的解答,連這兩題出處都馬上知道,佩服,佩服,看你在數學的教學熟練度,我真要好好檢討,加強自己實力,為學生也為提升自己程度,對於weiye老師的電扇解答,第一式中,3*2^5-3*2^4+3*2^3-3*2^2+3*2,可否麻煩weiye老師,再述何意,謝謝

[ 本帖最後由 kittyyaya 於 2010-11-8 11:33 PM 編輯 ]

我在這篇 https://math.pro/db/thread-499-1-1.html 的回覆裡面有提到 an+an−1=kk−1n−1  的由來（解釋），

我只是重複利用那個公式，

可以得到 a6=325−a5

　　　　　=325−324−a4 

　　　　　=325−324−323−a3 

　　　　　=325−324−323−322−a2 

又 a2=32，所以就得到 325−324+323−322+32=66 種


不旋轉的環狀，相鄰塗異色，其實可以推出一個固定的公式，

在高中數學 101 那本書裡面也有證明，它寫在排列組合那個範圍（書不在手邊，我不知在第幾頁）。

^_^