請問一個機率問題

有一個兩人合作過三關的抽牌遊戲,每一關皆有兩張牌,一張是出局牌,另一張是過關牌,第一關先由其中一人來抽牌,若抽中過關牌,則兩人一同晉級到下一關,若抽到出局牌則抽牌者不得再參加此遊戲,但另一人可順利晉級到下一關繼續進行抽牌遊戲,依此玩法繼續進行,則兩人中恰有一人通過三關的機率是多少?

兩人中恰有一人通過三關，表示此三次抽牌，必然有兩張過關牌與一張出局牌，

故，其機率為 \(\displaystyle \frac{3!}{2!1!}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}.\)


或是畫樹狀圖，如下，

　　　　　　┌過關　→　兩人都過關
　　　┌過關┤
　　　│　　└出局　→　恰一人過關○
┌過關┤
│　　│　　┌過關　→　恰一人過關○
│　　└出局┤
│　　　　　└出局　→　沒有人過關
│
│　　　　　┌過關　→　恰一人過關○
│　　┌過關┤
│　　│　　└出局　→　沒有人過關
└出局┤
　　　│　　
　　　└出局　　　　→　沒有人過關

謝謝weiye老師說明,再請問是否要區別甲乙兩人之不同呢?這樣答案會不同嗎?

不管是抽到過關卡將會〝兩人一同晉級到下一關〞，

或是抽到出局卡〝另一人可順利晉級到下一關〞，

所以，經過〝幾〞次抽牌還活著的，就是過了〝幾〞關，

不用區分是甲或乙過的關。