如圖：
上圖中每個小正方形的邊長都是 \(1\) 單位，
(1) 共有幾個正方形，所有正方形面積總和為多少？
(2) 共有幾個矩形，所有矩形面積總和為多少？
解：
(1)
正方形
| 邊長 | 1
| 2
| 3
| 4
|
| 個數 | 4×5 | 3×4 | 2×3 | 1×2 |
| 單一個面積 | \(1^2\) | \(2^2\)
| \(3^2\)
| \(4^2\)
|
正方形個數\(\displaystyle = 4\times 5+3\times 4+2\times 3+1\times2 = \sum\limits_{k=1}^{4}k\left(k+1\right)=40.\)
所有正方形面積總和\(\displaystyle = \left(4\times 5\right)\times1^2+\left(3\times 4\right)\times2^2+\left(2\times 3\right)\times3^2+\left(1\times2\right)\times4^2 = 154.\)
(2)
矩形的個數：
任選兩條垂直的直線，搭配任選兩條水平的直線，就可以形成一個矩形，所以矩形個數為\(\displaystyle C^5_2 C^6_2=150.\)
另解：
設矩形的大小是 \(a\times b\)，則 \(1\leq a\leq4\) 且 \(1\leq b\leq5\)
| 左方線段長\((a)\) | 1 | 2
| 3
| 4
|
| 線段個數 | 4 | 3
| 2
| 1
|
且
| 上方線段長\((b)\) | 1 | 2
| 3
| 4
| 5
|
| 線段個數 | 5 | 4
| 3 | 2
| 1 |
\[\mbox{矩形個數}=\left(4+3+2+1\right)\left(5+4+3+2+1\right)=150\]
且
\[\mbox{所有矩形的面積總和=}\left(4\times1+3\times2+2\times3+1\times4\right)\left(5\times1+4\times2+3\times3+2\times4+1\times5\right)\]
\[=700.\]
