請問一題關於排列問題

whzzthr

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1^# 大中小發表於 2016-2-7 15:11 只看該作者

請問一題關於排列問題

找不出規率，來請教老師一下
謝謝

\(n>1, n\in\mathbb{N}\)

\(\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}=\left\{1, 2, \cdots, n\right\}\) 的排列，

若 \(i\in\left\{1, 2, \cdots, n-1\right\}\)

試求恰一組 \(a_i>a_{i+1}\) 的排列數。

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thepiano

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2^# 大中小發表於 2016-2-7 16:25 只看該作者

回復 1# whzzthr 的帖子

\(\begin{align}
& n\ge 3 \\
& {{a}_{n}}=2{{a}_{n-1}}+\left( n-1 \right) \\
& {{a}_{n}}={{2}^{n}}-n-1 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-2-7 04:33 PM 編輯 ]

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cefepime

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3^# 大中小發表於 2016-2-8 09:18 只看該作者

題意的充要條件即: 把 1, 2, ..., n 直線排列為兩組 B1...Bi,C1...Cj ，其中 < Bk >，< Ck >皆為遞增，且Bi > C1。

一個元素有 2 個分組法，而 n 個元素一旦分好組，即只有一種排列法。

初步考慮分組方法數為: 2ⁿ，不合者為: 某組為空集合，或 Bi < C1 : 這二種情況皆表排列為 1,2, ..., n，而"分組線"位於某元素之前後，故有 n+1 種情況。

故所求為: 2ⁿ - (n+1) = 2ⁿ - n - 1

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whzzthr

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4^# 大中小發表於 2016-2-12 13:01 只看該作者

了解了！
謝謝weiye老師的文字敘述
謝謝thepaino老師的解答
謝謝cefepime老師清楚的分析
感謝!

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