請教標準差一題

請教標準差一題  謝謝!!
10個同學,其中8位身高為180,179,176,175,174,171,169,168
若另兩位身高分別為a, b(a<= b)
欲使這10位同學身高標準差最小,求b=?

這裡有類題,用相同方法就可以算了
https://math.pro/db/thread-861-1-1.html

答：\(b=a=\)已知這8人的平均174

先設已知的8人身高分別以 \(x_1, x_2, ..., x_8\)代表，\(x_9=a, x_{10}=b\)

使標準差最小，也就是要使 \(\sum_{1}^{10}(x_i-\overline{X})^2\)最小

\(\displaystyle \sum_{1}^{10}(x_i-\overline{X})^2=\sum_{1}^{10}x_i^2-10\overline{X}^2\)

\(\displaystyle =\sum_{1}^{8}x_i^2+a^2+b^2-\frac{(\sum_{1}^{8}x_i+a+b)^2}{10}\)  \(\leftarrow\) 令此式為 \(f(a,b)\)

\(f(a,b)=f(b,a)\) (對稱，想必達極值時 \(a=b\))

解 \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial a}=2a-\frac{1}{5}(\sum_{1}^{8}x_i+a+b)=0\)

\(9a-b=\sum_{1}^{8}x_i\)  \(\rightarrow\)  \(\displaystyle a=b=\frac{\sum_{1}^{8}x_i}{8}\)

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2013-7-29 08:28 PM 編輯 ]