自然數x, y, z最大公因數6, 最小公倍數720，(x, y, z)有幾組

已知x, y, z為自然數, x, y, z的最大公因數為6, 最小公倍數為720, 則滿足此條件的(x, y, z)共有幾組?
謝謝各位.....

答案是648組嗎？

[ 本帖最後由 smartdan 於 2014-6-14 08:42 AM 編輯 ]

是648，但我算出的答案沒那麼多組阿。想法不知那有錯？

\( 720 = 6 \times 2^3 \times 3 \times 5 \)

將 \( x, y, z \) 寫作 \( 6 \times 2^{x_2} \times 3^{x_3} \times 5^{x_5}, \times 2^{y_2} \times 3^{y_3} \times 5^{y_5}, \times 2^{z_2} \times 3^{z_3} \times 5^{z_5} \)

則 \( \max(x_2,y_2,z_2) =3, \max(x_3,y_3,z_3) = \max(x_5,y_5,z_5) =1 \) 且 \( x_i,y_i,z_i \) 為非負整數
     \( \min(x_2,y_2,z_2) = \min(x_3,y_3,z_3) = \min(x_5,y_5,z_5) =0 \)

\( \max(x_2,y_2,z_2) =3 \)，先任意取 \( x_2,y_2,z_2 = 0,1,2,3 \) 有 \( 4^3 \) 種

其中有 \( x_2,y_2,z_2 = 0,1,2 \) 的 \( 3^3 \) 種，不符合 \( \max(x_2,y_2,z_2) =3 \)。
其中有 \( x_2,y_2,z_2 = 1,2,3 \) 的 \( 3^3 \) 種，不符合 \( \min(x_2,y_2,z_2) =0 \)。

以取捨原理計算之 \( x_2,y_2,z_2 \) 有 \( 4^3 - 3^3 - 3^3 +2^3 = 18 \)

同理計算 3, 5 之指數

故所求 \( = (4^3 - 3^3 - 3^3 + 2^3) \times(2^3 - 2)\times (2^3 - 2) = 648 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-14 09:27 AM 編輯 ]

補充:
2的指數部分也可以直接計算~
(0,0,3) 排列數:3
(0,1,3) 排列數:6
(0,2,3) 排列數:6
(0,3,3) 排列數:3
共18種

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-14 10:59 AM 編輯 ]