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102竹山高中

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102竹山高中

試題.pdf (134.3 KB)

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請問填充5的答案是否怪怪的!

請問填充5的答案是否怪怪的!

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請問填充8、證明2。

填充5答案沒問題!

[ 本帖最後由 smallwhite 於 2013-7-18 03:34 PM 編輯 ]

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附上 word 檔試題及答案,如附件。

附件

102竹山高中.zip (23.11 KB)

2013-7-18 15:07, 下載次數: 3730

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想請教填充4,8題 謝謝

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回復 5# 阿光 的帖子

填充第 4 題:

\(2\left(10x+13\right)^2\left(5x+8\right)\left(x+1\right)=1\)

\(\Rightarrow 2\left(100x^2+260x+169\right)\left(5x^2+13x+8\right)-1=0\)

令 \(t=5x^2+13x\)

\(\Rightarrow 2\left(20t+169\right)\left(t+8\right)-1=0\)

\(\Rightarrow \left(2t+17\right)\left(20t+159\right)=0\)

\(\Rightarrow \left(10x^2+26x+17\right)\left(100x^2+260x+159\right)=0\)


檢查判別式,可知 \(10x^2+26x+17=0\) 有兩虛根且 \(100x^2+260x+159=0\) 有兩實根

因為 \(pq+rs\) 為實數,可知 \((p,q)\) 與 \((r,s)\) 分別為上述兩方程式的根(或是  \((r,s)\) 與 \((p,q)\) ),  

\(\displaystyle pq+rs=\frac{17}{10}+\frac{159}{100}=\frac{329}{100}.\)

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回復 3# smallwhite 的帖子

計算證明題第 2 題:

設 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 皆為不超過 \(n\) 次的多項式,

且都通過 \((x_0,y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)\)

令 \(h(x)=f(x)-g(x)\)

則 \(h(x)\) 為一個不超過 \(n\) 次的多項式,

且 \(h(x_i)=f(x_i)-g(x_i)=y_i-y_i=0, \forall i=0,1,2,\cdots, n\)

可知不超過 \(n\) 次的多項式方程式 \(h(x)=0\) 有 \(n+1\) 個相異實根

由代數基本定理可推知,

\(\Rightarrow h(x)\) 為零多項式

(或是由 \(h(x_i)=0, \forall i=1,2,\cdots, n\) 且 \(h\) 次數不超過 \(n\) 次

 可令 \(h(x)=k(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\)

 再由 \(h(x_0)=0\) 且 \((x_0-x_1)(x_0-x_2)\cdots (x_0-x_n)\) 非零

 可知 \(k=0\Rightarrow h(x)\) 為零多項式)

故 \(f(x)-g(x)=0\) 恆成立

亦即 \(f(x)=g(x)\) 恆成立

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回復 5# 阿光 的帖子

第 8 題:

先分析題目:

\(A\) 落在直線 \(y=\sqrt{3} x\) 上

\(B\) 落在直線 \(y=0\) 上

若將圓 \(C:(x-3)^2+(y-4)^2=1\) 對稱 \(y=\sqrt{3} x\) 直線可得圓 \(C_1\)

若將圓 \(C:(x-3)^2+(y-4)^2=1\) 對稱 \(y=0\) 直線可得圓 \(C_2\)

\(C\) 上的點 \(P\) 對稱 \(y=\sqrt{3} x\) 直線可得點 \(P_1\)

\(C\) 上的點 \(P\) 對稱 \(y=0\) 直線可得圓 \(P_2\)

\(\triangle PAB\) 周長= \(\overline{PA}+\overline{AB}+\overline{BP}\)

           = \(\overline{P_1A}+\overline{AB}+\overline{BP_2}\)

           \(\geq\overline{P_1P_2}\)

不過....

寫到一半發現 thepiano 老師已經先寫完了,而且寫得更簡潔。(所以後半段就不寫了...)

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3079

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請教填充 7、9 二題,謝謝!

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回復 9# Herstein 的帖子

填充第 7 題:

第 7 題:

旋轉完後,看起來會像是兩個有相同底面的直圓錐且底面接合在一起,

底面圓的半徑=\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

旋轉體的體積=\(\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\pi\left(\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\cdot\sqrt{x^2+y^2}\)

     \(\displaystyle =\frac{4\pi}{3\sqrt{x^2+y^2}}\)

已知三角形面積 \(\displaystyle \frac{1}{2}xy=1\Rightarrow xy=2\)

由算幾不等式,可得 \(\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}\geq\sqrt{x^2y^2}\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}\geq2\)

\(\Rightarrow\) 旋轉體的體積 \(\displaystyle \frac{4\pi}{3\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{2\pi}{3}\)

可知當直角三角形的兩股相等時,旋轉體體積會有最大值為 \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}.\)

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