兩題不等式

(1) 設 \(a,b,c\) 為正實數，求證 \(\displaystyle a + b + c \ge \frac{1}{3}\left(\sqrt{a}  + \sqrt{b}  + \sqrt{c} \right)\)

(2) 設 \(x,y,z\) 為正實數，且 \(\displaystyle\frac{10}{xyz}\left(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{5}{z}\right) = 1\) ，求 \(\displaystyle\left(\frac{2}{x} + \frac{3}{y}\right)\left(\frac{2}{x} + \frac{5}{z}\right)\) 的最小值為？

此兩題不知如何下手？

第一題a,b,c應有範圍限制吧?
否則取a=0.01, b=0.01, c=0.01
不等式就不會成立了

第二題，先做變數代數

令 \( a = \frac{2}{x} \), \( y = \frac{3}{y} \), \( c = \frac{5}{z} \)
則原等式可化成 \( abc(a+b+c)=1 \), a,b,c 亦為正實數

目標式則可以下化簡

\( (a+b+c-c)(a+b+c-b)=(a+b+c)^{2}-(b+c)(a+b+c)+bc=a(a+b+c)+bc \)

再用算幾不等式

\(\displaystyle \frac{a(a+b+c)+bc}{2}\geq\sqrt{abc(a+b+c)}=1\Rightarrow a(a+b+c)+bc \geq 2 \)

再看算幾不等式的等號成立，應該有無限多組解

隨便帶一組出來

\( a = \sqrt{2} -1 \), \( b = c =1 \)。

所以最小值為 2

這是學生問的段考題,應該是學校公布錯答案了!!!!