多項式一問

若f(x)除以x^2-x+2 的餘式是3x+1 除以x^2+x+2的餘式是5x+5 求f(x)除以(x^2-x+2)(x^2+x+2)的餘式?
謝謝

f(x) = (x^2 - x + 2)(x^2 + x + 2)Q(x) + ax(x^2 - x + 2) + 3x + 1
再利用 ax(x^2 - x + 2) + 3x + 1 除以 x^2 + x + 2 的餘式是 5x + 5，可求出 a

設\(f(x)=(x^2-x+2)(x^2+x+2)q(x)+(ax+b)(x^2-x+2)+3x+1\)
則\((ax+b)(x^2-x+2)+3x+1\)為所求
\(f(x)=(x^2-x+2)(x^2+x+2)q(x)+(ax+b)(x^2+x+2)-2x(ax+b)+3x+1\)
\(-2x(ax+b)+3x+1\)除以\(x^2+2x+2\)的餘式為\(5x+5\)，所以
\(-2x(ax+b)+3x+1=-2a(x^2+x+2)+5x+5\)
整理得
\(-2ax^2-2bx+3x+1=-2ax^2-2ax+5x-4a+5\)
比較係數，得方程式
\(\begin{cases}3-2b=5-2a\\5-4a=1\end{cases}\)
\(\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}\)
所以答案為
\( x(x^2-x+2)+3x+1 \)
\(=x^3-x^2+5x+1 \)