不等式

rotch

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1^# 大中小發表於 2017-3-7 15:59 只看該作者

不等式

已知\(m\ge 1\)，則\(\displaystyle \frac{m^2+1}{m(m+1)}\sqrt{1+m^2}\ge \frac{2m}{m(m+1)}\sqrt{\frac{(m+1)^2}{2}}\)
等號成立於\(m=1\)
請問這個不等式該如何推出來呢？感恩

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thepiano

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2^# 大中小發表於 2017-3-7 16:30 只看該作者

回復 1# rotch 的帖子

\(\begin{align}
& {{m}^{2}}+1\ge 2m \\
& 1+{{m}^{2}}\ge \frac{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}{2} \\
\end{align}\)

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rotch

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3^# 大中小發表於 2017-3-7 17:51 只看該作者

回復 2# thepiano 的帖子

如果只知道 m>= 1 與不等式的左邊，沒有不等式的右邊，想求出不等式的左邊的最小值，該如何思考呢？

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thepiano

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4^# 大中小發表於 2017-3-7 19:47 只看該作者

回復 3# rotch 的帖子

就是配成右邊那樣，不然就想辦法證明它遞增

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rotch

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5^# 大中小發表於 2017-3-8 15:52 只看該作者

回復 4# thepiano 的帖子

OK，感恩您的說明

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cefepime

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6^# 大中小發表於 2017-3-8 17:20 只看該作者

回復 3# rotch 的帖子

鑒於原題右式的手法，非我的思維能力所及，故另作嘗試。

想法: 由左式中的 √(1+ m²)，聯想到 "冪平均不等式"，且分母有 (m+1) 因子配合，應可行。

解: 由 "冪平均不等式"，有 √(1+ m²) ≥ (1+ m)/√2，從而:

左式 ≥ [ (m² +1)/m ]*(1/√2) (至此容易想到再用算幾不等式) ≥ √2

當 m = 1 時取等號。

又，本題可推廣為 m >0 。