請問 函數 圖像 對稱的一題問題

若 f: R->R , 對任意的a,b屬於R , 都有 f(a+b)+f(a-b)=2 f(a) f(b) , 且f(0)不等於0, 則y=f(x) 的圖像的一個性質是
(A) 關於x軸對稱
(B) 關於y軸對稱
(C) 關於原點對稱
(D) 關於直線 y=x 對稱

令 \( b=0\), 則 \( 2f(a)=2f(a)f(0)\Rightarrow f(0)=1\) 或 \( f(x)\equiv0\).

若 \( f(0)=1 \), 令 \(a=0\), 則 \(f(b)+f(-b)=2f(0)f(b)=2f(b)\Rightarrow f(b)=f(-b)\).

所當 \( f(0)=1\) 時，是偶函數，對稱於 y 軸。

當 \( f(0)\neq 1\) 時，是零函數，還是偶函數，仍是對稱於 y 軸。

所以 (B) 選項正確。

例子： \( f(x)\equiv1 \) 的常數函數，此函數滿足條件，但不滿足 ACD

所以僅有 (B) 是正確的。