已知x≧0,y≧0,x^2+y^2>0，求 (3x+4y)/(x+2y) 的最大、最小值

有朋友問過的題目，解完就ＰＯ上來紀錄一下。

臺灣師大數學系大學部申請入學歷屆考題（http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=6）
98筆試一

第一題：設 x0，y0 且 x2+y20。

(1) 試求 x+2y3x+4y 的最大值。並說明 x 與 y 分別為何值時會發生最大值？

(2) 試求 x+2y3x+4y 的最小值。並說明 x 與 y 分別為何值時會發生最小值？




解答：

因為 x2+y20，所以 xy 不能同時為 0，

令 k=x+2y3x+4y(3−k)x=(2k−4)y

　因為 x 與 y 為非異號的實數，所以 (3−k)(2k−4)02k3

　其中，

　當 k=2 時，帶入 (3−k)x=(2k−4)y，可得 x=0y0（因為 xy 不能同時為零）

　當 k=3 時，帶入 (3−k)x=(2k−4)y，可得 y=0x0（因為 xy 不能同時為零）

　所以，x+2y3x+4y 的最大值為 3，且此時 y=0x0。

　　　　x+2y3x+4y 的最小值為 2，且此時 x=0y0。