有朋友問過的題目,解完就PO上來紀錄一下。
臺灣師大數學系大學部申請入學歷屆考題(
http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=6)
98筆試一
第一題:設 \(x\ge 0\),\(y\ge 0\) 且 \(x^2+y^2>0\)。
(1) 試求 \(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最大值。並說明 \(x\) 與 \(y\) 分別為何值時會發生最大值?
(2) 試求 \(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最小值。並說明 \(x\) 與 \(y\) 分別為何值時會發生最小值?
解答:
因為 \(x^2+y^2>0\),所以 \(x,y\) 不能同時為 \(0\),
令 \(\displaystyle k=\frac{3x+4y}{x+2y}\Rightarrow (3-k)x=(2k-4)y\)
因為 \(x\) 與 \(y\) 為非異號的實數,所以 \((3-k)(2k-4)\ge 0\Rightarrow 2\leq k\leq3\)
其中,
當 \(k=2\) 時,帶入 \((3-k)x=(2k-4)y\),可得 \(x=0,y>0\)(因為 \(x,y\) 不能同時為零)
當 \(k=3\) 時,帶入 \((3-k)x=(2k-4)y\),可得 \(y=0,x>0\)(因為 \(x,y\) 不能同時為零)
所以,\(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最大值為 \(3\),且此時 \(y=0,x>0\)。
\(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最小值為 \(2\),且此時 \(x=0,y>0\)。