標題: Re: [中學] 有關插值多項式
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作者 weiye (^__^) 看板 Math
標題 Re: [中學] 有關插值多項式
時間 Mon Feb 7 11:31:57 2011
※ 引述《wa007123456 (大笨羊)》之銘言：
: 不好意思...又來發文章了..@@
: as title
: 我看了課本許久 還是無法理解他的原理
: 上網google 只查到更複雜的講法
: 我只記得上學期我是用比較特別的方法做的
: 但是 這樣下去不是辦法
: 畢竟那個特別的辦法只適用在3次以下的f(x)
: 因為我晚了別人一年 所以重讀後..還是高一生的程度..
: 希望有高手能夠以比較容易理解的講法揭露出他的原理
: 小弟在此感激不盡!
: ps:抑或是背下公式就好，不必去瞭解他的原理呢?
假設現在要求的是滿足 f(a)=p, f(b)=q, f(c)=r 的二次多項式，
現在不要要求一次滿足三個願望，
把願望縮小，發揮一下遠交近攻的精神，每次聯合某兩個敵人，打擊第三個敵人，
聯合次要敵人，打擊主要敵人～～一次只求滿足一個願望就好！
比如說：
1. 找滿足 f(a)=p ，但是 f(b)=0 且 f(c)=0 的這一塊，
先滿足這小小的 f(a)=p 的一個願望就好，
--------要開始找了喔--------
因為 f(b)=0, f(c)=0 ，所以由因式定理
可知這一部分一定是有 (x-b)(x-c) 的因式，
可是如果直接把 a 帶入 (x-b)(x-c)，
會得到的就是 (a-b)(a-c)耶，又不是 p ...... （想想看要怎麼辦）
對啦，可以吧 (x-b)(x-c) 縮小 (a-b)(a-c) 倍，再放大 p 倍，就ｏｋ啦，
這樣得到的多項式就是
\(\displaystyle \frac{p (x-b) (x-c)}{(a-b)(a-c)}\)
檢查一下上面得多項式～有沒有滿足～ (1). 帶 a 進去得到 p
(2). 帶 b,c 進去都會得到 0
好像有齁，第一個願望達成！
2. 找滿足 f(b)=q ，但是 f(a)=0 且 f(c)=0 的這一塊，
先滿足這小小的 f(b)=q 的一個願望就好，
--------要開始找了喔--------
因為 f(a)=0, f(c)=0 ，所以由因式定理
可知這一部分一定是有 (x-a)(x-c) 的因式，
可是如果直接把 b 帶入 (x-a)(x-c)，
會得到的就是 (b-a)(b-c)耶，又不是 q ...... （想想看要怎麼辦）
對啦，可以吧 (x-a)(x-c) 縮小 (b-a)(b-c) 倍，再放大 q 倍，就ｏｋ啦，
這樣得到的多項式就是
\(\displaystyle \frac{ q (x-a) (x-c)}{(b-a)(b-c)}\)
檢查一下上面得多項式～有沒有滿足～ (1). 帶 b 進去得到 q
(2). 帶 a,c 進去都會得到 0
好像有齁，第二個願望達成！
3. 找滿足 f(c)=r ，但是 f(a)=0 且 f(b)=0 的這一塊，
先滿足這小小的 f(c)=r 的一個願望就好，
--------要開始找了喔--------
因為 f(a)=0, f(b)=0 ，所以由因式定理
可知這一部分一定是有 (x-a)(x-b) 的因式，
可是如果直接把 c 帶入 (x-a)(x-b)，
會得到的就是 (c-a)(c-b)耶，又不是 r ...... （想想看要怎麼辦）
對啦，可以吧 (x-a)(x-b) 縮小 (c-a)(c-b) 倍，再放大 r 倍，就ｏｋ啦，
這樣得到的多項式就是
\(\displaystyle \frac{r (x-a) (x-b)}{(c-a)(c-b)}\)
檢查一下上面得多項式～有沒有滿足～ (1). 帶 c 進去得到 r
(2). 帶 a,b 進去都會得到 0
好像有齁，第三個願望達成！
繼續～～
可以找到這三塊又有什麼用，它們一次都只滿足一部分的願望而已呀！
很有用～直接把它們加起來看看～
加起來之後，得到的結果是
\(\displaystyle \frac{p (x-b) (x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{ q (x-a) (x-c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{r (x-a) (x-b)}{(c-a)(c-b)}\)
觀察一下上面的多項式，
當把 x=a 帶入時，會回得到 p + 0 + 0 ，也就是得到結果是 p
當把 x=b 帶入時，會回得到 0 + q + 0 ，也就是得到結果是 q
當把 x=c 帶入時，會回得到 0 + 0 + r ，也就是得到結果是 r
～～～耶～～找到了～
找到一個多項式滿足帶 x=a,b,c 分別會得到得函數值是 p,q,r
三個願望～一次滿足！
