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請教一題證明

icegoooood

1# 大 中 小 發表於 2021-11-16 10:25  只看該作者

請教一題證明

已知\(a\)、\(b\in N\)，當\(\displaystyle \frac{a^2+b^2}{ab+1}\)有正整數解時。試證其解為完全平方數。

如圖，想請教各位老師，這題能怎麼解答。
想了一天還是沒想到作法...

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題目.png (3.33 KB)

2021-11-16 10:25

題目.png

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weiye

瑋岳
2# 大 中 小 發表於 2021-11-16 11:08  只看該作者
用根與係數關係式＋反證法，詳見如下：

https://buzzorange.com/techorang ... gend-of-question-6/

多喝水。

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laylay

3# 大 中 小 發表於 2021-11-16 12:26  只看該作者

回復 1# icegoooood 的帖子

當a<=20,b<=100,a<=b時有五組解,都是平方數.
1. (1^2+1^2)/(1*1+1)=1
2. (2^2+8^2)/(2*8+1)=4
3. (3^2+27^2)/(3*27+1)=9
4. (4^2+64^2)/(4*64+1)=16
5. (8^2+30^2)/(8*30+1)=4

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icegoooood

4# 大 中 小 發表於 2021-11-16 16:11  只看該作者

回復 2# weiye 的帖子

太厲害了....   用明明都知道的定理跟技巧，卻破了這個難題...
難怪數學這麼有趣XD        (而且到今天才知道原來用到爛的根與係數的正式名稱是「韋達定理」....  真是受教了... )

感謝 weiye老師的熱心解答!!!!

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icegoooood

5# 大 中 小 發表於 2021-11-16 16:12  只看該作者

回復 3# laylay 的帖子

謝謝 laylay老師的幫助!       這樣跟其他人解釋題目的時候，拿出實解，能更好讓人理解!

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克勞棣

6# 大 中 小 發表於 2021-11-16 23:21  只看該作者

回復 1# icegoooood 的帖子

我比較好奇的是，為什麼要限定a,b都是「正」整數？

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laylay

7# 大 中 小 發表於 2021-11-17 08:37  只看該作者

回復 5# icegoooood 的帖子

不客氣,我是覺得這個正整數解有無限多組解,不知有沒有人會證明 或 證明是有限解?
還有k=(a^2+b^2)/(ab+1)為正整數時有最大值嗎?

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icegoooood

8# 大 中 小 發表於 2021-11-17 10:51  只看該作者

回復 6# 克勞棣 的帖子

痾  因為拿到題目寫的時候，題目就這樣規定

不過可以思考看看如果是規定整數的時候，能不能有一樣的結論。

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icegoooood

9# 大 中 小 發表於 2021-11-17 10:54  只看該作者

回復 7# laylay 的帖子

好問題耶!    我也來思考看看!

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thepiano

10# 大 中 小 發表於 2021-11-17 11:21  只看該作者

回復 7# laylay 的帖子

令 (a^2 + b^2) / (ab + 1) = k，其中 k 是完全平方數

取 a = 2m，其中 m 是正整數

整理可得 b^2 - 2mkb + (4m^2 - k) = 0

b = mk + √[(mk)^2 + (k - 4m^2)] (取其較大的根就好)

最後再取 k = 4m^2 = (2m)^2

此時 b = 2mk

即可證明 k 有無限多解，當然就沒有最大值了

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