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請教一題類似餘弦的題目

s7908155

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1^# 大中小發表於 2017-1-12 14:12 只看該作者

請教一題類似餘弦的題目

a,b,c屬於實數，若(a^2+b^2-c^2)/2ab + (b^2+c^2-a^2)/2bc + (a^2+c^2-b^2)/2ac =1
求((a^2+b^2-c^2)/2ab)^3 + ( (b^2+c^2-a^2)/2bc )^3 + ((a^2+c^2-b^2)/2ac)^3=?

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thepiano

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2^# 大中小發表於 2017-1-12 15:47 只看該作者

回復 1# s7908155 的帖子

請參考

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-1-12 03:50 PM 編輯 ]

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2017-1-12 15:50

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eyeready

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3^# 大中小發表於 2017-1-12 22:17 只看該作者

回復 1# s7908155 的帖子

R若2aba2+b2−c2+2bcb2+c2−a2+2cac2+a2−b2=1求

2aba2+b2−c2

2bcb2+c2−a2

2cac2+a2−b2

3=？
[解]
承上述thepiano大大圖解，容小弟把算式補齊
承蒙thepiano提點
a+b−c

b+c−a

c+a−b 三式中任兩式不可能同時成立，故取a+b−c=0代入所求即可

2aba2+b2−c2

2bcb2+c2−a2

2cac2+a2−b2

3 =

2ab(a+b)2−c2−1

2bc(b−c)2−a2+1

2ca(c−a)2−b2+1

3 =−1+1+1=1

[備註]
從題目已知條件可推得
a3+b3+c3−ab2−bc2−ca2−a2b−ba2−cb2−ac2+2abc=0為三次輪換式，因此因式分解形式也必為輪換式，
其中常見的形式有a+b+c

a+b−c

a−b−c

abc，可假設b+c=−a

b+c=a

a=0，代入上式判別是否為0，可快速找出因式分解形態

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-1-13 10:04 AM 編輯 ]

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thepiano

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4^# 大中小發表於 2017-1-13 06:22 只看該作者

回復 3# eyeready 的帖子

原題的答案是 1

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thepiano

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5^# 大中小發表於 2017-1-13 09:46 只看該作者

回復 3# eyeready 的帖子

a + c - b、a + b - c、b + c - a 只能有一個為 0

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eyeready

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6^# 大中小發表於 2017-1-13 10:02 只看該作者

回復 5# thepiano 的帖子

謝謝賜教，受益良多！

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