請教一題

yangyang314159

一笙

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1^# 大中小發表於 2016-6-8 21:46 只看該作者

請教一題

設\(m,n\)都是大於1的正數，證明\(\displaystyle (\frac{1}{m})^{\frac{1}{n}}+(\frac{1}{n})^{\frac{1}{m}}>1\)

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eyeready

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2^# 大中小發表於 2016-6-9 09:36 只看該作者

回復 1# yangyang314159 的帖子

只想到暴力解法....

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2016-6-9 09:36

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cefepime

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3^# 大中小發表於 2016-6-9 17:56 只看該作者

這題以前有看人解過，用的是 Bernoulli 不等式。 (本題只需 m, n > 0，即可成立。)

更早之前自己遇到這題時，題目只要求 m, n 是正整數，則用算幾不等式即可。
由此聯想到，本題亦可用 "加權算幾不等式" 得證。

又 "加權算幾不等式" 可由 "Jensen不等式" 得出，故本題亦可用 "Jensen不等式" 證明。

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