二次多項式f,g領導係數皆1，知f^2÷g及g^2÷f的餘式，求f+g

題目：

已知 f(x)g(x) 皆為二次式，且首項係數皆為 1，

f(x)2  除以 g(x) 的餘式為 4x−4，

g(x)2  除以 f(x) 的餘式為 −4x−4，

求 fx+gx= ？



解答：

令 f(x)=g(x)+mx+n=x2+ax+bg(x)=x2+a−mx+b−n 

則 f(x)2=g(x)2+2g(x)mx+n+mx+n2 

f(x)2=g(x)2+2g(x)mx+n+m2x2+2mnx+n2 

依題意，可得 4x−4=m2m−ax+n−b+2mnx+n2 

4x−4=m3−am2+2mnx+m2n−bm2+n2 

另一方面， g(x)2=f(x)2−2f(x)mx+n+mx+n2 

g(x)2=f(x)2−2f(x)mx+n+m2+2mnx+n2 

依題意，可得 −4x−4=m2−ax−b+2mnx+n2 

−4x−4=2mn−am2x+n2−bm2 


因此，

m3−am2+2mn=4 ……(1)

m2n−bm2+n2=−4 ……(2)

2mn−am2=−4 ……(3)

n2−bm2=−4 ……(4)

由 (1)~(4)，可解得 m=2n=0a=1b=1

因此，f(x)=x2+x+1g(x)=x2−x+1f(x)+g(x)=2x+2 。

(嘗試減少參數)

無論是想利用 "首項係數相等" 或 "餘式代換法"，大致會聯想到 f(x) - g(x)。

由題意:

[f(x) - g(x)] ² = c*f(x) - 4x - 4 = c*g(x) + 4x - 4  (c 是常數)

比較紅藍式的常數項，知 f(x) 與 g(x) 的常數項相等 (c ≠ 0)，故上式可改寫為:

cx² = c*f(x) - 4x - 4 = c*g(x) + 4x - 4

因紅藍式的一次項與常數項皆 = 0，故知可設 f(x) = x² + ax + a  ; g(x) = x² - ax + a

上式前半再改寫為:

4a²x² = (4a²)*(x² + ax + a) - 4x - 4

比較係數，得 a =1。

f(x) + g(x) = 2x² + 2a  = 2x² + 2