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Math Pro 數學補給站» 高中的數學 » I：數與函數 » 再請教不等式

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再請教不等式

tsyr

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1^# 大中小發表於 2015-2-28 20:22 只看該作者

再請教不等式

令a,b,c都是正實數使得abc=8
試證: $\frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}}\geq \frac{4}{3}$

代來代去代得頭昏腦脹，代不出個所以然來~

[ 本帖最後由 tsyr 於 2015-2-28 08:23 PM 編輯 ]

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thepiano

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2^# 大中小發表於 2015-2-28 21:51 只看該作者

回復 1# tsyr 的帖子

a3+1=

a+1

a2−a+1

2a+1+a2−a+1=2a2+2

a3+1

b3+1

2a2+2

2b2+2=4

a2+2

b2+2

a2

a3+1

b3+1

a24

a2+2

b2+2

=4a2

a2+2

b2+2

接下來只要證明a2

a2+2

b2+2

+b2

b2+2

c2+2

+c2

c2+2

a2+2

31 即可
令x=a2

y=b2

z=c2
可得
xy+yz+zx

3

3

xyz

2=48x+y+z

3

3xyz=12

即證明
x

x+2

y+2

+y

y+2

z+2

+z

z+2

x+2

31

3

x

z+2

+y

x+2

+z

y+2

x+2

y+2

z+2

3

xy+yz+zx

+6

x+y+z

xyz+2

xy+yz+zx

+4

x+y+z

+8

xy+yz+zx+2

x+y+z

64+8=72

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-2-28 09:54 PM 編輯 ]

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tsyr

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3^# 大中小發表於 2015-3-1 10:06 只看該作者

回復 2# thepiano 的帖子

一開始的幾步最難思考到~

感謝解答!

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