「4題請教」中的第3題

「4題請教」(好像都沒有人回復?) 中的第3題，題目如下:

在算式1+1/2+......+(1+1/n+1+1/2+......+1/n)^2+(1/n+1+1/2+......+1/n)^2+......+(1/n)^2
中，從第二個括弧開始，每一個括弧內的和式都是由前一個括弧內的和式刪掉第一項之後而得到的。當n = 2013 時，請問這一個算式的值是_________。

剛才靈機一動突然想出還有「數學歸納法」這一招
我的解法如附檔
(抱歉，因為我不之道怎麼直接在這輸入數學式，所以只能用word檔，之後在研究一下~)

若有任何疏漏，煩請告知
歡迎大家共同討論，如果有更好的解法，請不吝分享。

順便附個圖檔好了(png.)

全部展開相加就好

嗯!?
好像沒錯
可是有點醜

觀察第一個括號的和為\(\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\)
第二個括號開始，有兩類的項：
(1)         \({{\left( \frac{1}{k} \right)}^{2}}\) 有 k 項, 和為\(\sum\limits_{k=1}^{n}{k{{\left( \frac{1}{k} \right)}^{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\)
(2)         \(2\cdot \frac{1}{i}\cdot \frac{1}{j},1\le i<j\le n\) 有 \(i\) 項, 和為 \(2\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=i+1}^{n}{i\left( \frac{1}{i}\cdot \frac{1}{j} \right)}}=2\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=i+1}^{n}{\frac{1}{j}}}=2\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \frac{1}{i+1}+\frac{1}{i+2}+\ldots +\frac{1}{n} \right)}\)
所求總和為
\(2\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \frac{1}{i+1}+\frac{1}{i+2}+\ldots +\frac{1}{n} \right)} \right)=2\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{1}{k}}+\sum\limits_{k=3}^{n}{\frac{1}{k}}+\ldots +\sum\limits_{k=n}^{n}{\frac{1}{k}} \right)=2n\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-14 11:43 PM 編輯 ]

對於 \(\displaystyle  \frac{1}{m} \) 只看分母比 \(\displaystyle  m \) 小的部分

有 1 個 \(\displaystyle  \frac{2}{1 \times m} \) ，其和為 \(\displaystyle  \frac{2}{m} \)

有 2 個 \(\displaystyle  \frac{2}{2 \times m} \) ，其和為 \(\displaystyle  \frac{2}{m} \)

................................
有  \(\displaystyle  m-1 \) 個 \(\displaystyle  \frac{2}{(m-1) \times m} \) ，其和為 \(\displaystyle  \frac{2}{m} \)

有 \(\displaystyle  m \) 個  \(\displaystyle  \frac{1}{m^2} \) ，其和為 \(\displaystyle  \frac{1}{m} \)

但是非平方部分還有一個 \(\displaystyle  \frac{1}{m} \)

故這些的總合為 2
總共有 \(\displaystyle  n \) 個 2

故總和為 \(\displaystyle  2n \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-14 11:19 PM 編輯 ]

好簡單的方法，謝謝老師!