請問函數圖像對稱的一題問題

mandy

1^# 大中小發表於 2012-2-24 15:41 只看該作者

若 f: R->R , 對任意的a,b屬於R , 都有 f(a+b)+f(a-b)=2 f(a) f(b) , 且f(0)不等於0, 則y=f(x) 的圖像的一個性質是
(A) 關於x軸對稱
(B) 關於y軸對稱
(C) 關於原點對稱
(D) 關於直線 y=x 對稱

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tsusy

寸絲

2^# 大中小發表於 2012-2-24 17:37 只看該作者

令 b=0, 則 2f(a)=2f(a)f(0)

f(0)=1 或 f(x)

0.

若 f(0)=1, 令 a=0, 則 f(b)+f(−b)=2f(0)f(b)=2f(b)

f(b)=f(−b).

所當 f(0)=1 時，是偶函數，對稱於 y 軸。

當 f(0)

=1 時，是零函數，還是偶函數，仍是對稱於 y 軸。

所以 (B) 選項正確。

例子： f(x)

1 的常數函數，此函數滿足條件，但不滿足 ACD

所以僅有 (B) 是正確的。

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