分解成平方和

從1~200這些正整數中,可表示成二個不同的非負整數之平方和的數共有幾個?

從1到200這些正整數中，可表示成二個不同的非負整數(即包含0)之平方和的數共有　　個。
(2008青少年數學國際城市邀請賽初賽)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196
1		5	10	17	26	37	50	65	82	101	122	145	170	197
2			13	20	29	40	53	68	85	104	125	148	173	200
3				25	34	45	58	73	90	109	130	153	178	205
4					41	52	65	80	97	116	137	160	185	212
5						61	74	89	106	125	146	169	194	221
6							85	100	117	136	157	180	205	232
7								113	130	149	170	193	218	245
8									145	164	185	208	233	260
9										181	202	225	250	277
10											221	244	269	296
11												265	290	317
12													313	340
13														365

補充一題類似題
How many of the integers between 1 and 1000, inclusive, can be expressed as the difference of the squares of two nonnegative integers?
(1997AIME，http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=393578)

請問這題除了全部列出來以外,

65=1^2+8^2=4^2+7^2
85=2^2+9^2=6^2+7^2
25,100,125,130,145,169,170,185,
這些可以拆成兩種平方和

想請問一下前輩,有沒有其他的辦法直接找到呢?
感謝^^

不難發現平方數必定符合題意。 其他的可能性就用到一個抽象代數上的定理： 一個奇質數可表為二個平方數之和，若且唯若

此數被 4 除餘 1. 在 1 ~ 200 間的平方數就有 1^2, 2^2, ..., 14^2. 至於被 4 除餘 1 的有 5, 9, 13, ..., 197 共 47 個，再扣掉這些數字中重覆與相同平方數構成的部分

即可. 一般的平方數可以利用整複數 (也就是高斯整數，複數平面上的整數對) 的絕對值概念來討論，即

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2.