一題二次多項式不等式題目

不好意思，想請教板上各位高手一題二次不等式題目
題目是
     當x>1時,
     不等式  x^2-2kx-3k>0恆成立
     試問k的範圍?

小弟想到的是慢慢就各種情況討論
不知道 各位板大對這種題目是否有何比較快速的方式
可以解決???

煩請不吝賜教!!感恩感恩!!!

題目：當 x1 時，不等式 x2−2kx−3k0 恆成立，試問 k 的範圍？

Thinking： 『當 x 在某範圍時，函數 f(x) 恆正』，

　　　　　先確認在 x 在該範圍時，函數 f(x) 的最小值到底是誰？

　　　　　只要能保證此範圍中的函數最小值恆正（即在 x 軸上方），則在該範圍中的所有函數值都會是正的。

解答：

令 f(x)=x2−2kx−3k=x−k2−3k−k2 

則 y=f(x) 為開口向上的拋物線，且其頂點為 (k−3k−k2)


case i： 若 k1，

　　　　　　

　　　　則需保證最低點的 y 坐標 f(k)=−3k−k20−3k0 ，此與 k1 相矛盾。

case ii：若 k1，

　　　　　　
　　　　則需保證最低點的 y 坐標  f(1)=1−5k0k51

故，k51