求助國中幾何題解答

求助各位大大:

點M位於三角形 ABC中內部使得 ∠MAB = 27°,  ∠MAC= 54° ,∠ MCA=63° 以及∠MAB=9∠MCB, 則 ∠AMB為多少度?

              大大感謝!!

過A作垂線垂直MC，E為垂足
過M作垂線垂直AB，D為垂足
則△ACE 全等於 △AME 全等於 △AMD
令AM=AC=1
則根據正弦定理及三角函數的定義，知
BD=AB-AD=2cos33°-sin63°，DM=sin27°
∠DMB=arctan(BD/DM)=arctan((2cos33°-sin63°)/sin27°)=60°(Excel試算的，嚴密算法請見下方補充回答)

所以∠AMB=∠AMD+∠DMB=63°+60°=123°

補充
cos33°=cos(60°-27°)=cos60°cos27°+sin60°sin27°=(1/2)cos27°+(√3/2)sin27°
等號兩邊同乘以2，得
2cos33°=cos27°+(√3)sin27°=sin63°+(√3)sin27°
故(2cos33°-sin63°)/sin27°=√3
故arctan((2cos33°-sin63°)/sin27°)=arctan(√3)=60°
故∠DMB=60°