作者  LuisSantos (   )                                            看板  Math 
 標題  Re: [微積] 一題極限和一題重積分                                        
 時間  Tue Jul  1 21:14:34 2008                                               
─────────────────────────────────────── 

※ 引述《u9300105 (簡仲甫)》之銘言：
: 抱歉  我第一次在這發問= ="  不太會打符號
: (1)   lim  [(n+1)(n+2)...(n+n)/(n^n)] ^1/n
:      n→∞
: 中文版說明:整串式子中括號外面還有一個1/n次方就是了..然後分母是n的n次方...


       (n+1)(n+2)...(n+n)    1
  lim (------------------)^(---)
 n→∞        n^n            n

              (n+1)(n+2)...(n+n)    1
= lim  e^(ln((------------------)^(---)))
 n→∞              n^n             n

              (n+1)(n+2)...(n+n)    1
= e^( lim ln((------------------)^(---)))
     n→∞          n^n             n

            1      (n+1)(n+2)...(n+n)
= e^( lim (---)(ln(------------------)))
     n→∞  n             n^n

            1           1             2                   n
= e^( lim (---)(ln(1 + ---) + ln(1 + ---) + ... + ln(1 + ---)))
     n→∞  n           n             n                   n

            1    n          k
= e^( lim (---)(Σ  ln(1 + ---)))
     n→∞  n   k=0         n

      1
= e^(∫ ln(1+x) dx)
      0

                 |1    1   x
= e^((x)(ln(1+x))|  - ∫ ----- dx)
                 |0    0 1 + x

(令 u = ln(1+x) , dv = dx , 則 du = 1/(1+x) dx , v = x)

            1       1
= e^(ln2 - ∫ 1 - ----- dx)
            0     1 + x

                        |1
= e^(ln2 - (x - ln(1+x))| ))
                        |0

= e^(ln2 - (1 - ln2))

= e^(2ln2 - 1)

= e^((ln4) - 1)

         4         4
= e^(ln(---))  =  ---
         e         e








: (2)
:             x^2+y^2
:       ∫∫ e        dA
:          R
: where R is the semicircular region bounded by the x-axis and the curve
: y=(1-x^2)^1/2   ...1-x平方的開平方根...
: 老是卡住腦袋...想不出解法
: 排版不好請多多見諒= ="

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.66.173.21