1.f(x)=a  x^n +a   x^(n-1) + ... +a x +a
         n       n-1                1     0

   如果 a ，a ，f(1)都為奇數，則f(x)=0無有理根，是否為真？
         n   0

   為真證明，若假請說明

2.若可寫成√n +1 +√n ， n為自然數 ，則稱為g~~~數（忘記名詞了XD）

  設g為g~~數

  （1）證明g^2也是g~~數 (2)證g^3亦是  (3)問g^6是否也是？並說明

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以下我有寫的，但各位幫我看一下有沒有問題，
因為我常常收到的成績跟我自己預期的不一樣 XD

3.利用數學歸納法證明下列式子：

        1       1               1          1
  1 + ----- + ----- + ... + --------- + ------ > √n  ，n大於等於2
       √2     √3            √(n-1)     √n

 <pf>

     移項變

        1       1                1        1
  1 + ----- + ----- + ... + --------- + ------ __ √n > 0
       √2     √3            √(n-1)     √n

 n=2......~ 設n=k 成立（略寫）

 則當 n=k+1 時，
        1       1             1           1
  1 + ----- + ----- + ... + ------ + --------- __ √(k+1)
       √2     √3           √k      √(k+1)

           1                           1          k-(k+1)
  >    -------   + √k __ √(k+1) = --------  + ------------
       √(k+1)                       √(k+1)     √k + √(k+1)

         1            -1             1              -1          1
  =   -------- + -----------    > -------    +  ---------  =  --------  > 0
      √(k+1)    √k + √(k+1)     √(k+1)       2√(k+1)     2√(k+1)       #


4.一個半徑為6公分的半圓碗裡，中心放入一個半徑為3的實心小球，注入一些水使水高a

  (1)若水高a，則注入的水體積 V 為何？
  (2)若先未放入小球，測得水高 1公分 ，放入小球合上升 h 公分，求h=?
<sol>
  (1)我利用
                6                         3
          V=    ∫  π(6^2 - x^2) dx  -  ∫  π(3^2 - x^2) dx = ... = 2π a^2
              (6-a)                     (3-a)

  (2) by (1)
              6
          V= ∫  π(6^2 - x^2) dx  = 2π (1+h)^2
              5

            .......


      得  h =  √(17/6) -1  #



※ 編輯: mathyen         來自: 211.74.12.77         (06/24 15:49)