作者  cslove (我一定要考上公立正式)                               看板  Math 
 標題  [其他] 99竹中教甄考題                                                  
 時間  Sat May 29 00:39:45 2010                                               
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1. (1) z=|z|(cosθ+isinθ)，
       試證：對所有的整數 n，z^n=|z|^n(cos nθ+isin nθ)
   (2) z^2 = 5 - 12i，求z
   (3) ω^n = 1，求 (2-ω)(2-ω^2)(2-ω^3)...(2-ω^(n-1))

2. n對夫婦一起跳舞，每對夫婦皆不共舞的機率為P(n)，
   (1) 求P(n)
   (2) 求lim(n→∞) P(n)

3. f(x)=x^2-t，t為正數，
   從 x = a_1 開始，已知 f(a_1)>0，過(a_1,f(a_1))做切線，交x軸於(a_2,0)；
                                 再過(a_2,f(a_2))做切線，交x軸於(a_3,0)；
                                 再過(a_3,f(a_3))做切線，交x軸於(a_4,0)；
   如此如此，這般這般…
   (1)試證：a_(n+1)=( a_n + t/a_n )/2
   (2)試證：< a_n > 為一遞減有下界數列，求lim(n→∞) a_n
            (這一題題目好像有瑕玼，應該要加 a_1>0 才行)
   (3)試證：0 < a_(n+1) - √t < ( a_n ^2 - t )^2 / (8 a_n t)

4. S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
   (1)試證：S_(2^n) ≧ 1 + n/2 ，求lim(n→∞) S_n
   (2)求：lim(n→∞) ( S_n / n )

5. (1) Σ(k=1..n) C(2n取2k-1)
   (2) Σ(k=1..n) (-1)^n C(2n取2k-1)

6. f(x) = √( x^3 / (x-2) )
   (1) 求 f 的定義域
   (2) 求 f 的漸近線
   (3) 試作 y = f(x) 的圖形

7. (記不清楚)
   橢圓 (acosθ,bsinθ)
   (1) 試證：周長 = 4a ∫(0到π/2) √(1- e^2 cos^2 θ) dθ，其中e是離心率
   (2) 利用微積分均值定理，
       試證：2aπ(1- e^2/2) ≦ 周長 ≦ 2aπ(1- e^2/2) / √(1-e^2)



大致上記得的是這樣

我自己 2(2)、3(3)、6、7 沒寫
       2(1)、4(2) 不確定
感覺上是遇到極限就死…

想請教版上的高手們  謝謝

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※ 編輯: cslove          來自: 123.195.143.241      (05/31 07:36)