雙曲線反射的問題

1. 雙曲線的光學性質: 切線為兩焦半徑的角平分線
                                =>由外射向焦點之光線,反射時射向另一焦點
2. 本題 xy=2,兩頂點為(√2, √2), (-√2, -√2), 焦點(2, 2),(-2, -2)
     貫軸長= 2a = 兩頂點距離= 4
    A(0)(-10, 2)射向雙曲線右焦點(2,2),反射光指向左焦點(-2, -2)
    再反射,則指向右焦點(2,2), 依此反復之
3. 設第n次反射點A(n):(x(n), y(n))在雙曲線右支(第1象限), 
    反射光L(n)之反射點A(n+1): (x(n+1), y(n+1))在曲線左支
    再反射光L(n+1)=>A(n+2): (x(n+2), y(n+2)), 則
    x(n)y(n)=2, x(n+1)y(n+1)=2, x(n+2)y(n+2)=2, ......   ----(A)
    L(n): 過(-2, -2), A(n) =>  [y(n)+2]/[x(n)+2] = (y+2)/(x+2)
        過A(n+1) => [y(n)+2]/[x(n)+2] =[ y(n+1)+2]/[x(n+1)+2] ---(B)
        (A)代入(B) => [ 2/x(n) + 2]/[x(n)+2]=[ 2/x(n+1) + 2]/[x(n+1)+2]
        => [x(n)+1][x(n+1)+1] = -1 ----(C)
    同理: [x(n+1)- 1][x(n+2) - 1 ]= -1 --- (D)
4. 由 (C),(D)=>x(n+2)= [3x(n)+4]/[2x(n)+3] ----(E)
     x(1)=1 =>由數學歸納法知 √2>x(n+2)>x(n)   (n為奇數)
    =>x(n)極限存在,且由(E) x(n) ->√2 =>A(n)->(√2,√2)  (n為奇數)
    同理 A(n)->(-√2, -√2)  ( n為偶數)
    故A(n)A(n+1)線段->兩頂點 =>距離 = 2a = 4